三、定积分的几何意义 (3)在区间[a,b],f(x)既取正值又取负值时，函数f(x)的图形既有在x轴上方的 又有在x轴下方的，此时∫f)表示x轴上方的面积减去x轴下方的面积 f(x)dx=-A+A2-Ag. y=f(x) b
三、定积分的几何意义 （3）在区间[,] a b ， f ( ) x 既取正值又取负值时,函数 f ( ) x 的图形既有在 x 轴上方的 又有在 x 轴下方的,此时 ( ) b a f x dx ∫ 表示 x 轴上方的面积减去 x 轴下方的面积 ( ) d . x x A 1 A 2 A 3 f b a = − + − ∫ y = f (x ) A B a b A 1 A 2 A 3 y x
三、定积分的几何意义 例1：求(1)3V4-x在 (2)sinxdx 2 -π → -2 2 解：(1)由几何意义V4-r=2不×2=2n (2)由几何意义∫sinxdx=0
三、定积分的几何意义 例 1 ：求（1） 2 2 2 4 x dx − − ∫ （2） sin xdx π ∫−π 解：（1）由几何意义 2 2 2 2 1 4 22 2 x dx π π − − = ×= ∫ （2）由几何意义 sin 0 xdx π −π = ∫
四、可积的条件 定理1：若函数f(x)在[a,b]上连续 定理2：若函数f(x)在a,b]上有界， 则f(x)在[a,b上可积 且只有有限个间断点， 推论：初等函数在定义区间上可积 则f(x)在a,b1上可积
四、可积的条件 定理 1：若函数 f ( ) x 在[,] a b 上连续 则 f ( ) x 在[,] a b 上可积. 定理 2：若函数 f ( ) x 在[,] a b 上有界， 且只有有限个间断点， 则 f ( ) x 在[,] a b 上可积. 推论：初等函数在定义区间上可积
五、定积分的性质 规定： [=0 -ro 性质1： ∫fax)±8xdr=∫f)d±∫2g(x)ds 性质2：∫kfx)dr=k∫f)d（k为常数) 性质3： (定积分的区间可加性)∫fx)dr=∫fx)dr+∫心f)dr 性质4： ∫1-k=b-a
五、定积分的性质 规 定： () 0 a a f x dx = ∫ () () a b b a f x dx f x dx =− ∫ ∫ 性质 1： [ ( ) ( )]d ( )d ( )d b bb a aa f x gx x f x x gx x ±= ± ∫ ∫∫ 性质 2： ( )d ( )d b b a a k f xxk = f x x ∫ ∫ ( k 为常数) 性质 3：（定积分的区间可加性） ( )d ( )d ( )d b cb a ac f x x fx x fx x = + ∫∫∫ 性质 4： 1 b a ⋅ dx b a = − ∫
五、定积分的性质 性质5：（定积分的保号性) 推论1（定积分的单调性） 若在[a,b1上若f(x)≤g(x),则 若在闭区间[a,b]上f(x)≥0，则 ∫fex)dr≤∫g(x)dr. ∫f)dr≥0 推论2 "r"roolds (a<b)
五、定积分的性质 性质 5：（定积分的保号性） 若在闭区间[,] a b 上 f x( ) 0, ≥ 则 ( )d 0. b a fx x ≥ ∫ 推论 1（定积分的单调性） 若在[,] a b 上若 f ( ) ( ), x gx ≤ 则 ( )d ( )d b b a a f x x ≤ g x x ∫ ∫ . 推论 2 () () b b a a f x dx ≤ f x dx ∫ ∫ （a b < ）