上降文通大￥ SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 第十章分离变量法 上海交通大学数学科学学院 唐异垒 漏 Wwwm TTTV SHANG 1日
第十章 分离变量法 上海交通大学数学科学学院 唐异垒
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 分离变量法 许多物理现象都具有叠加性：由几种不同原因同时出 现时所产生的效果，等于各个原因单独出现时所产生 的效果的叠加，这就是物理学中的叠加原理 在解决数学中的线性问题时，可应用物理学中的 叠加原理 分离变量法又称Fourier方法，而在波动方程情形也称为 驻波法。它是解决数学物理方程定解问题中的一中基本 方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发 点是物理学中的机械振动和电磁振动（总可分解为一些 简谐振动的叠加)
分离变量法 许多物理现象都具有叠加性：由几种不同原因同时出 现时所产生的效果，等于各个原因单独出现时所产生 的效果的叠加，这就是物理学中的叠加原理。 在解决数学中的线性问题时，可应用物理学中的 叠加原理。 分离变量法又称Fourier方法，而在波动方程情形也称为 驻波法。它是解决数学物理方程定解问题中的一中基本 方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发 点是物理学中的机械振动和电磁振动（总可分解为一些 简谐振动的叠加）
上游充更大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 齐次方程 一 维波动方程 非齐次方程 齐次方程 一维热传导方程 非齐次方程 齐次方程 二维Laplace方程 非齐次方程
一维波动方程 齐次方程 非齐次方程 一维热传导方程 二维Laplace方程 齐次方程 非齐次方程 齐次方程 非齐次方程
上游充更大警 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY §10.1一维波动方程 1.两端固定的有界弦的自由振动（第一类齐次边界） 4n-a24x=0,t>0,0<x<L 2 (1①) u(0,t)=(L,t)=0, (2) u(x,0)=(x),4,(x,0)=w(x) (3) 其中(x),w(x)为[0，L]上分段可导函数。 首先找到具有变量分离形式的满足方程 (1) 和边界条件(2)的非零特解一得到两个ODE的定 解问题。 函数u(x,)具有变量分离形式，即可表示为 u(x,t)=X(x)T(t) (4)
1.两端固定的有界弦的自由振动(第一类齐次边界) 2 0 (0, ) ( , ) 0 ( ,0) ( ), , 0, 0 (1) , (2) (3) ( ), ( ) [ ( ,0) ( ) 0, ] tt xx t u a u u t t u L t u x x u x x x L x x L 其中 为 上分段可导函数。 首先找到具有变量分离形式的满足方程 （1） 和边界条件（2）的非零特解—得到两个ODE的定 解问题。 函数 u(x,t) 具有变量分离形式，即可表示为 u(x,t) X(x)T(t) (4) (I) §10.1 一维波动方程
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 代入PDE(1)和边界条件(2)得 X(x)T"(t)=a-X"(x)T(t) 即 T"(t) X"(x) a2T(t) (5) X(x) 以及代入边界条件(2)得 X(0)T(t)=X(L)T(t)=0(6) (5)式中，左端是的函数，右端是x的函数，tx不相 关，由此可得只能是常数，记为-九.从而有 X"(x)+兄X(x)=0,0<x<L, (7) X(0)=X(L)=0. ■ T"(t)+aT(t)=0,(t>0). (8) 定解问题可分离为分别关于X,T的ODE,且边界条件也同样进行分离
代入PDE（1）和边界条件（2）得 2 X x T t a X x T t ( ) ( ) ( ) ( ) 即 2 ( ) ( ) (5) ( ) ( ) T t X x a T t X x 以及代入边界条件（2）得 X T t X L T t (0) ( ) ( ) ( ) 0 (6) (5)式中，左端是t的函数，右端是x的函数，t, x不相 关，由此可得只能是常数，记为 . 从而有 ( ) ( ) 0, 0 (0) ( ) ) 0 , (7 . X x L X X x x X L 2 T t a T t ( ) ( ) 0 , (t 0). (8) 定解问题可分离为分别关于X, T的ODE,且边界条件也同样进行分离