上降文通大￥ SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 第八章Laplace变换 上海交通大学数学系唐异垒 漏 v 长6州 SHANG 1日
第八章 Laplace变换 上海交通大学数学系 唐异垒
上游究通大学 §8.1 Laplace变换的概念 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY t At)u(t)e-or t FIf(Du(i)e-f(t)ed =5"f()erdt （p=+i
t f(t) O t f(t)u(t)e-st O §8.1 Laplace变换的概念 ( ) 0 [ ( ) ( ) ] ( ) t i t F f t u t e f t e dt s s - - 0 ( ) pt f t e dt p i s -
上游充通大学 8.1.1 Laplace变换的定义 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 设f(t)是[0，+o)上的实（或复）值函数，若对复数 p=o+io,F(p)=。f(t)edtp平面的某 一区域内收敛，则称其为f(t)的Laplace变换，记为 [f)Ip)=。f()edt. f(t)称为F(p)的Laplace逆变换，记为f(t)=卫'[F(p)川 F(p)称为像函数，f(t)称为原像函数
8.1.1 Laplace变换的定义 1 ( ) ( ) Laplace ( ) [ ( )] ( ) ( ) . f t F p f t F p F p f t - 称为 的 逆变换，记为 称为像函数， 称为原像函数 L
上游充更大警 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 定义（指数级函数）： 对实变量的复值函数f(t),若存在M>0及实数o。,使得 f(t)≤Me,∀t≥0 则称f()为指数级函数，o称为增长指数 例如： u(t)≤1e,M=l,o。=0; e≤1eRc,M=L,。=Rek sin ket≤1e,M-l,o。k5 t≤nle,M=n,o。=l. 非指数级函数，如 /2 e
定义(指数级函数)： 则称 为指数级函数， 称为增长指数 对实变量的复值函数 若存在 及实数 使得 c t c f t f t Me t f t M c s s s ( ) ( ) , 0 ( ), 0 , 例如： Re | | 1 , 1, Re ; sin 1 , 1, | |; ! , !, 1. kt k t c k t c n t c e e M k kt e M k t n e M n s s s 非指数级函数，如 . 3 / 2 t e 0 ( ) 1 , 1, 0; t c u t e M s
上浒充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSIT 8.1.2 Laplace变换存在定理 设f(t), t≥0满足： ●f(t)在t≥0的任一有限区间上分段连续： ●f(t)是指数级函数（增长指数为o) 则在半平面Rep=o>o内必存在f(t) 的Laplace变换F(p)=。f(t)e'd,且积分 绝对收敛，函数F(p)解析
( ) ( ) 0 ( ) ( ) c f t f t t f t s 设 ， t 0满足： 在 的任一有限区间上分段连续； 是指数级函数 增长指数为 ； 8.1.2 Laplace变换存在定理 0 Re ( ) Laplace ( ) ( ) , ( ) . c pt p f t F p f t e dt F p s s - 则在半平面 内必存在 的 变换 且积分 绝对收敛，函数 解析