第二讲线性子空间 1
第二讲 线性子空间 1
一、线性子空间的定义及其性质 1.定义：设V是数域K上的线性空间V的一个非空子集合，且对V已 有的线性运算满足以下条件 (1)如果x,y∈，则x+y∈： (2)如果x∈V,k∈K,则kx∈V, 则称V是V的一个线性子空间或子空间。 2.性质：(1)线性子空间V与线性空间V享有共同的零元素： (2)V中元素的负元素仍在V中。 [证明](1)0x=O x∈VcV 2
一、线性子空间的定义及其性质 1. 定义：设V1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已 有的线性运算满足以下条件 （1）如果 1 xy V , ∈ ，则 1 x yV + ∈ ； （2）如果 1 x V∈ ，k K ∈ ，则 1 kx V∈ ， 则称V1是V 的一个线性子空间或子空间。 2. 性质：（1）线性子空间V1与线性空间V 享有共同的零元素； （2）V1中元素的负元素仍在V1中。 [证明]（1）0x O= 1 xV V ∈ ⊂ 2
∴.V中的零元素也在V中，V与V享有共同的零元素。 (2)x∈V (-1)x=(-x)∈V封闭性 ∴.中元素的负元素仍在V中 3.分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间 平凡子空间：{0}和V本身 非平凡子空间：除以上两类子空间 4.生成子空间：设x,x2…,xm为V中的元素，它们的所有线性组合的 集合 3
∴V 中的零元素也在V1中，V1与V 享有共同的零元素。 （2） 1 ∀ ∈x V 1 ( 1) ( ) − =− ∈ x xV 封闭性 ∴ V1中元素的负元素仍在V1中 3. 分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间 平凡子空间：{0}和V 本身 非平凡子空间：除以上两类子空间 4. 生成子空间：设 1 2 , , m xx x 为V 中的元素，它们的所有线性组合的 集合 3
K,i=12,m 1 也是V的线性子空间，称为由x,2…,xm生（张）成的子空间，记 为L(x,x2…,xm)或者Span(X1,x2…,xm)。 若x,x2…,Xm线性无关，则 dim{L(x,x2…,xm}=m 5.基扩定理：设V是数域K上的线性空间V”的一个m维子空间， x,x2…,xm是V的一个基，则这m个基向量必可扩充为 V"的一个基；换言之，在V”中必可找到n-m个元素 xm1,Xm+2…,xn’使得，x2…,xn成为V"的一个基。这 4
1 , 1,2 , m ii i i kx k K i m = ∈ = ∑ 也是V 的线性子空间，称为由 1 2 , , m xx x 生（张）成的子空间，记 为 1 2 (, , ) Lx x x m 或者 1 2 (, , ) m Span x x x 。 若 1 2 , , m xx x 线性无关，则 dim ( , , ) {Lx x x m 1 2 m } = 5. 基扩定理：设V1是数域 K 上的线性空间 n V 的一个 m 维子空间， 1 2 , , m xx x 是V1的一个基，则这m个基向量必可扩充为 n V 的一个基；换言之，在 n V 中必可找到 n m− 个元素 1 2 , , mm n xx x + + ，使得 1 2 , , n xx x 成为 n V 的一个基。这 4
n-m个元素必不在V中。 二、子空间的交与和 1定义：设V、V,是线性空间V的两个子空间，则 ∩'2={xx∈V,x∈'2} V+V2={x+ypx∈V,y∈'2} 分别称为V和V,的交与和。 2定理：若V和V,是线性空间V的两个子空间，则V∩V,V+V均为 V的子空间 [证明](1)x,y∈V∩V x+y∈Vx+y∈V? 5
n m− 个元素必不在V1中。 二、子空间的交与和 1.定义：设V1、V2是线性空间V 的两个子空间，则 V V xx V x V 12 1 2 = ∈∈ { , } V V x yx V y V 1 2 +=+ ∈ ∈ { 1 2 , } 分别称为V1和V2的交与和。 2.定理：若V1和V2是线性空间V 的两个子空间，则V V 1 2 ，V V 1 2 + 均为 V 的子空间 [证明]（1） 1 2 ∀ ∈ xy V V , 1 2 x yV x yV +∈ +∈ 5