第五章 留数 By 付小宁
第五章 留 数 By 付小宁
第一节孤立奇点 一、孤立奇点的概念 定义如果函数f(?)在，不解析，但f(z)在0 的某一去心邻域0<z一zo<δ内处处解析，则称 zo为f(z)的孤立奇点 例1z=0是函数e,sinz: 的孤立奇点. z=-1是函数 +1 的孤立奇点
一、孤立奇点的概念 定义 如果函数 0 f (z) 在 z 不解析, 但 f (z) 在 0 z 的某一去心邻域 − 0 0 z z 内处处解析, 则称 0 z 为 f (z) 的孤立奇点. 例1 z = 0 是函数 z z e z sin , 1 的孤立奇点. z = −1 是函数 1 1 z + 的孤立奇点. 第一节 孤立奇点
例2指出函数f(?)= 1在点z=0的奇点特性. sin 解函数的奇点为 7=0,7= (k=±1，±2，…) 因为lim =0: k饥 k→ok元 即在z=0的不论怎样小的去心邻域内，总有f(?) 的奇点存在，所以？=0不是孤立奇点. 函数在孤立奇点以外的奇点称为非孤立奇点
例2 指出函数 在点 z = 0 z z f z 1 sin ( ) 2 = 的奇点特性. 解 = = k z z 1 0, (k = 1, 2, ) 因为 0， 1 lim = k→ k 即在 z = 0 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为 总有 f (z) 所以 z = 0 不是孤立奇点. 函数在孤立奇点以外的奇点称为非孤立奇点
孤立奇点的分类 依据f(?)在其孤立奇点z的去心邻域 0<z-o<δ内的洛朗级数的情况分为三类： 1.可去奇点； 2.极点； 3.本性奇点 1.可去奇点 1)定义如果洛朗级数中不含？一，的负幂项， 那末孤立奇点称为f()的可去奇点
孤立奇点的分类 依据 f (z) 在其孤立奇点 0 z 的去心邻域 − 0 0 z z 内的洛朗级数的情况分为三类: 1．可去奇点 1．可去奇点; 2．极点; 3．本性奇点. 如果洛朗级数中不含 z − z0 的负幂项, 0 那末孤立奇点 z 称为 f (z) 的可去奇点. 1) 定义
说明：(1)z若是f(z)的孤立奇点 f(z)=c+c(z-z)+…+cn(z-z0)”+… (0<z-z<δ) 其和函数F(z)为在解析的函数， (2)无论f(z)在x是否有定义，补充定义 f(o)=c,则函数f(z)在解析. f(z)=limf(z） F(z),z≠0 7→z0 f)={c,2=0
其和函数 F(z) 为在 0 z 解析的函数. = = 0 0 0 , ( ), ( ) c z z F z z z f z 说明: (1) ( ) , z0若是f z 的孤立奇点 ( ) ( ) ( ) . f z = c0 + c1 z − z0 ++ cn z − z0 n + ( 0 ) 0 z − z ( ) lim ( ) 0 0 f z f z z→z = ( ) , 0 0 f z = c (2) 无论 在 是否有定义, f (z) 0 z 补充定义 则函数 在 0 f (z) z 解析