第四章 级数 By 付小宁
第四章 级 数 By 付小宁
第一节复数项级数 一、复数列的极限 1.定义设{an}(n=1,2,)为一复数列其中 an=an+bn,又设a=a+ib为一确定的复数 如果任意给定ε>0，相应地都能找到一个数 N(e),使an-a<ε在n>N时成立， 复数列收敛等同于极限存在 那末a称为复数列{an}当n→oo时的极限 记作lima=a. 也称复数列{必n}收敛于a. n→co
一、复数列的极限 1.定义 如果任意给定 0,相应地都能找到一个正数 N( ), 使 在 n N 时成立, n − 那末 称为复数列{ }当n → 时的极限, n 记作 lim = . → n n 也称复数列{ n }收敛于. 设{ } (n = 1,2, )为一复数列,其中 n , n n n = a + ib 又设 = a + ib为一确定的复数, 第一节 复数项级数 复 数 列 收 敛 等 同 于 极 限 存 在
2.复数列收敛的条件 复数列{an}(n=1,2,)收敛于x的充要条件是 lima,a, limb =b. n→oo n->co 证 如果iman=a,那末对于任意给定的&>0 n->oo 就能找到一个正数N当n>N时， (an +ibn)-(a+ib)<E
2.复数列收敛的条件 复数列{ }(n = 1,2, )收敛于 的充要条件是 n lima a, limb b . n n n n = = → → lim = , → n n 如果 那末对于任意给定的 0 就能找到一个正数N, 当n N 时, (a + ib ) − (a + ib) , n n 证
从而有an-4≤(an-a)+i(bn-b)<6, 所以 lima,a. 同理limb=b. n->co 反之，如果四a=a,imb。=6, 那末当m>N时，a。-a<6,一<
a − a (a − a) + i(b − b) , 从而有 n n n lima a. n n = → 所以 limb b. n n = → 同理 . 2 , 2 an − a bn − b 反之, 如果 lima a, limb b, n n n n = = → → 那末当n N 时
从而有&m-a=(an+bn)-(a+b) =(an -a)+i(b,-b) ≤an-a+bn-b<8, 所以iman=ax. [证毕] 1→0∞ 定理一说明：可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性
从而有 (a ib ) (a ib) n − = n + n − + (a a) i(b b) = n − + n − 定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性. lim =. → n n 所以 [证毕] a − a + b − b , n n