第八讲矩阵函数的求法
第八讲 矩阵函数的求法 1
一、利用Jordan标准形求矩阵函数。 对于矩阵的多项式，我们曾导出f(A)=Pf(J)P,f:多项式 f() f(J2) f(J)= f(Js) 21 实际上，以上结果不仅对矩阵的多项式成立，对矩阵的幂级数也成 2
一、利用 Jordan 标准形求矩阵函数。 对于矩阵的多项式，我们曾导出 1 f A Pf J P () () − = ， f ：多项式 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) f J f J f J f Js = ( ) 1 1 ( 1) () () ( ) ( ) ( ) 2! 1 ! i i i i i i i m f f f f f J m − ′ ′′ = − λ λ λ λ 实际上，以上结果不仅对矩阵的多项式成立，对矩阵的幂级数也成 2
立。由此引出矩阵函数的另一种定义及计算方法。 1.定义：设n阶矩阵A的Jordan标准形为J J小 1 0 2 1 J= ,J(2)= 1 Js」 且有非奇异矩阵P使得：PAP=J 对于函数f(z),若下列函数 f(2),f'(2),…,fm-(2) (九=1,2，…，S) 均有意义，则称矩阵函数f(A)有意义，且 3
立。由此引出矩阵函数的另一种定义及计算方法。 1. 定义：设n阶矩阵 A的 Jordan 标准形为J 1 2 J J J Js = ， 1 0 1 ( ) 1 0 i i i i i J = λ λ λ λ λ 且有非奇异矩阵P使得： 1 P AP J − = 对于函数 f z( )，若下列函数 ( 1) ( ), ( ), , ( ) mi ii i ff f − λλ λ ′ ( 1,2, , ) λ = s 均有意义，则称矩阵函数 f A( )有意义，且 3
f() f(J2) f(A)=Pf(J)P-=P P-I f(Js) 。 m xm 2.矩阵函数的求法（步骤）： I°求出A的Jordan标准形及变换矩阵P,P-AP=J 2°对于J的各Jordan块J,求出f(J),即计算出 4
( ) 1 ( ) 2 1 1 () () ( ) f J f J f A Pf J P P P f Js − − = = ( ) 1 1 ( 1) () () ( ) ( ) ( ) 2! 1 ! i i i i i i i i i m f f f f f m m m J − ′ ′′ = − × λ λ λ λ 2. 矩阵函数的求法（步骤）： 1 求出 A的 Jordan 标准形及变换矩阵P， 1 P AP J − = 2 对于J 的各 Jordan 块 i J 求出 ( )i f J ，即计算出 4
f2),f'(2),,fm-(2) 并按照顺序构成f(J), an2G"a m.xm f() f(J2) 3°合成fJ)= f(Js)」 4°矩阵乘积给出f(A)=Pf(J)P- 5
( 1) ( ), ( ),......., ( ) mi i i i ff f − λλ λ ′ 并按照顺序构成 ( )i f J ， ( ) 1 1 ( 1) () () ( ) ( ) ( ) 2! 1 ! i i i i i i i i i m f f f f f m m m J − ′ ′′ = − × λ λ λ λ 3 合成 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) f J f J f J f Js = 4 矩阵乘积给出 1 f A Pf J P () () − = 5