第6章 共形映射 By 付小宁
1 第6章 共形映射 By 付小宁
§1共形映射的概念 z平面内的任一条有向曲线C可用=z(),≤长B 表示，它的正向取为增大时点z移动的方向，()为一 条连续函数 如果z'(o)≠0，心<邛，则表示z'()的向量（把起点 放取在z0.以下不一一说明)与C相切于点20z(o) z'( z(to) z(0
2 z 平面内的任一条有向曲线C可用 z=z(t), atb 表示, 它的正向取为t增大时点z移动的方向, z(t)为一 条连续函数. 如果z '(t0 )0,a<t0<b, 则表示z '(t)的向量(把起点 放取在z0 . 以下不一一说明)与C相切于点z0 =z(t0 ). z(t0 ) z(a) z(b) z '(t0 ) §1 共形映射的概念
事实上，如果通过C上两点P与P的割线PP的正向对 应于增大的方向，则这个方向与表示 z(t+△t)-z(to) △t 的方向相同， 12'() () z(t,+△t) 2(o) x 当点P沿C无限趋向于点P,割线PP的极限位置就是C 上Po处的切线.因此，表示(o)=m z(t。+△t)-z(to) t-→0 △t 的向量与C相切于点z0=z(0),且方向与C的正向一致
3 事实上, 如果通过C上两点P0与P的割线P0P的正向对 应于t增大的方向, 则这个方向与表示 t z t t z t Δ ( Δ ) ( ) 0 + − 0 的方向相同. O x y z(t0 ) P0 P z(t0+Dt) C (z) 当点P沿C无限趋向于点P0 , 割线P0P的极限位置就是C 上P0处的切线. 因此, 表示 t z t t z t z t t Δ ( Δ ) ( ) ( ) lim 0 0 Δ 0 0 + − = → 的向量与C相切于点z0=z(t0 ), 且方向与C的正向一致. z '(t0 )
我们有 1)Argz'(to)就是zo处C的切线正向与x轴正向间的夹角； 2) 相交于一点的两条曲线C,与C2正向之间的夹角就是它 们交点处切线正向间夹角 (2) ◆ O X
4 我们有 1) Arg z '(t0 )就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角; 2) 相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它 们交点处切线正向间夹角 O x (z) z0 C1 C2
设函数w=孔z)将点z,z+△z分别影射为w, w+△w,向量(z,z+△z)与实轴的夹角为0、 向量(w,w+△w)与实轴的夹角为p,则称 p-0为影射w=z)产生的角度转动，即 中-B=Ar8[f(z+△2)-f(z]-Ag[(z+△)-2] Arg f(=+A)-f()=Arg f(z+△)-f(z) (z+△2)-2 △正 f(z+△)-f(2) 点z处转动角 m(0-)=,4g △2→0 △z 当w=z)解析时，点z处转动角=Ag'(z)
5 设函数w=f(z)将点z，z+∆z分别影射为w， w+∆w，向量(z，z+∆z)与实轴的夹角为θ、 向量(w，w+∆w)与实轴的夹角为φ，则称 φ- θ 为影射w=f(z) 产生的角度转动，即 点z处转动角 当w=f(z)解析时，点z处转动角= z f z z f z Arg z z z f z z f z Arg Arg f z z f z Arg z z z D + D − = + D − + D − = − = + D − − + D − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] Argf (z) z f z z f z Arg z z D + D − − = D → D → ( ) ( ) lim ( ) lim 0 0