第一讲线性空间 1
第一讲 线性空间 1
一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并(U),交（∩） 另外，集合的“和”（十）：并不是严格意义上集合的运算，因为 它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数 域、实数域(R)和复数域(C)。实数域和复数域是工程上较常用的两 个数域。 2
一、 线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为 它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数 域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两 个数域。 2
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的 重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1.线性空间的定义： 设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其 元素用k,1,m等表示。如果V满足[如下8条性质，分两类]： (I)在V中定义一个“加法”运算，即当x,y∈V时，有唯一的和 x+y∈V(封闭性)，且加法运算满足下列性质： (1)结合律 x+(y+z)=(x+y)+z; (2)交换律 x+y=y+x; (3)零元律 存在零元素O,使x+O=x; 3
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的 重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1．线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用xyz , , 等表示；K 是一个数域，其 元素用klm , , 等表示。如果V 满足[如下 8 条性质，分两类]: （I）在V 中定义一个“加法”运算，即当 xy V , ∈ 时，有唯一的和 x yV + ∈ （封闭性），且加法运算满足下列性质: （1）结合律 x yz xy z ++=++ ( )( ) ； （2）交换律 xyyx +=+ ； （3）零元律 存在零元素O，使xO x + = ； 3
(4)负元律 对于任一元素x∈V,存在一元素y∈V,使 x+y=O,且称y为x的负元素，记为(-x)。则有x+(-x)=O。 (I)在V中定义一个“数乘”运算，即当x∈V,k∈K时，有唯一 的∈V(封闭性)，且数乘运算满足下列性质： (5)数因子分配律 k(x+y)=kx+ky; (6)分配律 (k+1)x=kx+x; (7)结合律 k()=(kl)x; (8)恒等律 1x=x; [数域中一定有刂 则称V为数域K上的线性空间
（4）负元律 对于任一元素 x V∈ ，存在一元素 y V∈ ，使 xyO + = ，且称 y为x的负元素，记为（−x）。则有x xO +− = ( ) 。 （II）在V 中定义一个“数乘”运算，即当 x Vk K ∈ ∈ , 时，有唯一 的kx V∈ （封闭性），且数乘运算满足下列性质: （5）数因子分配律 k x y kx ky ( ) +=+ ； （6）分配律 ( ) k l x kx lx + =+ ； （7）结合律 k lx kl x () () = ； （8）恒等律 1x x = ； [数域中一定有 1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 4
注意以下几点： 1)线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数 域不同，该集合构成的线性空间也不同。 2)两种运算、八条性质。数域K中的运算是具体的四则运算，而 V中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 3)除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。唯一 性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运 算本身就不满足。 当数域K为实数域时，V就称为实线性空间；K为复数域，V就 称为复线性空间。 5
注意以下几点： 1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数 域不同，该集合构成的线性空间也不同。 2）两种运算、八条性质。数域K 中的运算是具体的四则运算，而 V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。唯一 性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运 算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就 称为复线性空间。 5