上游夫通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 第二章分离变量法 §10.4非奇次定解问题 上海交通大学数学科学学院 唐异垒 漏 Sa?
第二章 分离变量法 上海交通大学数学科学学院 唐异垒 §10.4 非奇次定解问题
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 10.4.1非奇次波动方程 1.齐次边界定解问题 un=a'us +f(x,t),t>0, 0<x<I (0,t)=u(l,t)=0, (①) u(x,0)=(x),u,(x,0)=w(x) 思考： 方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？
1. 齐次边界定解问题 方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？ 思考: 10.4.1 非奇次波动方程 2 ( , ), 0, 0 (0, ) ( , ) 0, (1) ( ,0) ( ), ( ,0) ( ). tt xx t u au f xt t x l u t ult u x x ux x φ ψ = + > << = = = =
上游充通大学 法一：利用叠加原理降低难度，令 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY u(x,t)=v,t)+w(x,t) W,V分别满足定解问题 Wn=a2Wss,t>0,0<x1 分离变量法求解 W(0,t)=W(L,t)=0, (2) W(x,0)=(x),W,(x,0)=w(x). x πat nπat nπ →W(x,t)=∑ 1o cos- sin n sin- n=l nπa V=a2V+f(x,t),t>0,0<x<1 V(0,t)=V(l,t)=0, 虽然PDE为非齐次 (3) 的，但边界，初值 V(x,0)=(x,0)=0. 条件为0，很简单
uxt V xt W xt (,) (,) (,) = + 法一: 利用叠加原理降低难度，令 2 2 ( , ) { cos sin }sin . n 1 , 0, 0 (0, ) ( , ) 0, (2) ( ,0) ( ), ( ,0) ( ). ( , ), 0, 0 (0, ) ( , ) 0, (3) ( ,0) ( ,0) 0. tt xx t tt xx t n at l n at n W xt x n l na l l W aW t x l W t Wlt Wx x Wx x n V aV f xt t x l V t Vlt Vx Vx π ππ φ ψ π φ ψ ∞ = ∑ + = ⇒ = > << = = = = = + > << = = = = W, V 分别满足定解问题 分离变量法求解 虽然PDE为非齐次 的，但边界，初值 条件为0，很简单
上游充通大￥ 李v有泥式-子.um SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY n元 why? 则它已满足（③）的边界条件，再代入波动方程 固有函数 +f(x,) n=l n=1 00 其中0名c0sm竖 xdx. 0E0+a:0-
( )sin ( )sin , ( )sin ( )sin ( , ) 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 ∑ ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = + = − + ⇒ ′′ = − n n n n n n n n x l n x f t l n v t l n a x f x t l n v t l n x a l n v t π π π π π π ( , )sin d . 2 ( ) 0 x x l n f x t l f t l n π ∫ 其中 = 令V有形式: 则它已满足 (3)的边界条件，再代入波动方程 x why？ l n V x t v t n n π ( , ) ( )sin 1 ∑ ∞ = = : ( ) ( ) ( ). 2 2 2 2 v t f t l n ODE v t a n + n = n ⇒ ′′ π 固有函数
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 最后再看(3)的初始条件 x0-立0sn=00=0 n=l y(x,0)=∑.0)sn27x=0→y. n=] 得到非齐次ODE的初值问题 0+a2na =0. (4) yn(0)=v'n(0)=0
1 1 3 ( ,0) (0)sin 0 (0) 0, ( ,0) ' (0)sin 0 ' (0) 0. n n n tn n n n Vx v x v l n Vx v x v l π π ∞ = ∞ = = =⇒ = = =⇒ = ∑ ∑ 最后再看（ ）的初始条件 得到非齐次ODE的初值问题 (4) (0) ' (0) 0. ( ) ( ) ( ). 2 2 2 2 = = ′′ + = n n n n n v v v t f t l n v t a π