第九讲矩阵微分方程 1
第九讲 矩阵微分方程 1
一、矩阵的微分和积分 1.矩阵导数定义：若矩阵A(t)=(a(t)mxn的每一个元素a,0是变量1 的可微函数，则称A(t)可微，其导数定义为 (da mxn 由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。 2.矩阵导数性质：若A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵，则 (1) 40±o- dA,dB dt 2
一、矩阵的微分和积分 1. 矩阵导数定义：若矩阵 ( ) ( ( )) At a t = ij m n× 的每一个元素 ( ) ij a t 是变量 t 的可微函数，则称 A t( )可微，其导数定义为 ( ) ij m n dA da A t dt dt × = = ′ 由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。 2. 矩阵导数性质：若 A t( ),B t( )是两个可进行相应运算的可微矩阵，则 （1） [ ( ) ( )] d dA dB At Bt dt dt dt ± =± 2
d dB (2) A(t)B(t)]= dA B dt dt dt A (3) d dt a()A(t)= aA+a dr (4) )加-4 ased）-4sn(国 i(sin(u》=Acos(A0) (A与t无关) 此处仅对d(e”)=Ae=e“A加以证明 dt 证明： 3
（2） [ ( ) ( )] d dA dB At Bt B A dt dt dt = + （3） [ ( ) ( )] d da dA at At A a dt dt dt = + （4） ( ) (cos sin ( )) ( ) d d tA tA tA e Ae e A tA A tA dt dt = = = − (sin cos ( )) ( ) d tA A tA dt = (A 与 t 无关) 此处仅对 ( ) d tA tA tA e Ae e A dt = = 加以证明 证明： 3
品e)-+++5+)4++f =A1+A+2A+)=Ae 21 又=(U+A++A=e4A 21 3.矩阵积分定义：若矩阵A(t)=(a,(t)mn的每个元素a(t)都是区间 [to,t]上的可积函数，则称A(t)在区间[t,t]上可积，并定义A(t)在 [to,4]上的积分为 aoh-ona）nn 4.矩阵积分性质 4
1 1 22 33 2 23 1 () ( ) 2! 3! 2! d d tA e I tA t A t A A tA t A dt dt = + + + + =+ + + 1 2 2 ( ) 2! tA = ++ + = A I tA t A Ae 又 1 2 2 ( ) 2! tA =++ + = I tA t A A e A 3. 矩阵积分定义：若矩阵 ( ) ( ( )) At a t = ij m n× 的每个元素 ( ) ij a t 都是区间 0 1 [,] t t 上的可积函数，则称 A t( )在区间 0 1 [,] t t 上可积，并定义 A t( )在 0 1 [,] t t 上的积分为 ( ) 1 1 0 0 ( ) ( ) t t ij t t a t dt m n A t dt = × ∫ ∫ 4. 矩阵积分性质 4
(1)∫[A0)±B0]t=A0d±B0d (2 LA()B-di)B.Bdi (3) aAd=M.广4h=4o-A回 二、一阶线性齐次常系数微分方程组 设有一阶线性齐次常系数微分方程组 5
（1） 1 1 1 0 0 0 [ ( ) ( )] ( ) ( ) t t t t t t A t B t dt A t dt B t dt ±= ± ∫ ∫∫ （2） ( ) ( ) 1 11 1 0 00 0 [ ( ) ] ( ) , [ ( )] ( ) t tt t t tt t A t B dt A t dt B AB t dt A B t dt = = ∫ ∫∫ ∫ （3） ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) t b a a d A t dt A t A t dt A b A a dt ′′ ′ = = − ∫ ∫ 二、 一阶线性齐次常系数微分方程组 设有一阶线性齐次常系数微分方程组 5