第三讲线性变换及其矩阵 1
第三讲 线性变换及其矩阵 1
一、线性变换及其运算 定义：设V是数域K上的线性空间，T是V到自身的一个映射，使得对 于V中的任意元素x均存在唯一的y∈V与之对应，则称T为V 的一个变换或算子，记为 Tx=y 称y为x在变换T下的象，x为y的原象。 若变化T还满足 T(a+y)=k(Tx)+l(Ty)x,y∈V,k,I∈K 称T为线性变换。 2
一、线性变换及其运算 定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对 于V 中的任意元素 x均存在唯一的 y V∈ 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为 Tx y = 称 y为 x在变换T 下的象， x为 y的原象。 若变化T 还满足 T kx ly k Tx l Ty ( ) () () += + ∀∈ ∈ xy Vkl K , ,, 称 T 为线性变换。 2
[例1]二维实向量空间R 一儿】5eR队将销网点9光的 操作就是一个线性变换。 5 n=5 cos0-5,sine [证明]x= 」 y=Tx= 72 72=5sin8+52cos0 cos0 -sin ∈R2 72 952 可见该操作为变换，下面证明其为线性变换 3
[例 1] 二维实向量空间 2 1 2 R R i = ∈ ξ ξ ξ ，将其绕原点旋转θ 角的 操作就是一个线性变换。 [证明] 1 2 x = ξ ξ 1 2 y Tx = = η η 11 2 21 2 cos sin sin cos = − = + η ξ θξ θ η ξ θξ θ 1 1 2 2 cos sin sin cos − = η ξ θ θ η ξ θ θ 2 ∈ R 可见该操作为变换，下面证明其为线性变换 3
y Vx- [] 2= ∈R2,k,leR 72 22 kx +lz= [医] 52 T+)- cos0 -sinekx+ 0 7 sine cos0kx,+12 m88m9m9 =k =k(Tx)+1(TZ) .T是线性变换。 4
1 2 x x x ∀ = 1 2 z z z = 2 ∈ R ，k l, ∈R 1 1 11 2 2 22 = kx lz kx lz kx lz kx lz kx lz + + += + 1 1 2 2 1 1 2 2 cos sin ( ) sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos () () kx lz T kx lz kx lz x z k l x z k Tx l Tz − + + = + − − = + = + θ θ θ θ θθ θθ θθ θθ ∴ T 是线性变换。 θ η1 η2 1 ξ 2 ξ x y o 4
[例2]次数不超过n的全体实多项式P,构成实数域上的一个n+1维的 线性空间，其基可选为1，x,x,,},微分算子D=是P上的一 d 个线性变换。 [证明]显然D对P,而言是变换， 要证明D满足线性变换的条件 f,g∈Pn,k,l∈R D(kf+1g)=k(Df)+(Dg) ∴.D是P,上的线性变换。 5
[例 2] 次数不超过n的全体实多项式P n构成实数域上的一个n +1维的 线性空间，其基可选为{ } 2 1, , , , n xx x ，微分算子 d D dx = 是P n上的一 个线性变换。 [证明] 显然D对P n而言是变换， 要证明D满足线性变换的条件 ∀ ∈ f g, Pn，k l, ∈R D kf lg k Df l Dg ( ) ()() += + ∴ D是P n上的线性变换。 5