第四讲矩阵的对角化
第四讲 矩阵的对角化 1
基 元素 坐标向量 加法 元素加法 坐标向量的加法 数乘 数与元素“乘” 数与坐标向量相乘 矩阵与坐标列向量 线性变换及其作用 对应关系 的乘积 2
基 元素 坐标向量 加法 元素加法 坐标向量的加法 数乘 数与元素“乘” 数与坐标向量相乘 线性变换及其作用 对应关系 矩阵与坐标列向量 的乘积 2
对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运 算时，只需用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可，因此，在后 面的内容中着重研究矩阵和向量。 3
对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运 算时，只需用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可，因此，在后 面的内容中着重研究矩阵和向量。 3
对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程 Ax=b时，将矩阵A对角化后很容易得到方程的解。对角化的过程实 际上是一个去耦的过程。以前我们学习过相似变化对角化。那么，一 个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢？或者对角化需要什么 样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简 单呢？
对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程 Ax b = 时，将矩阵 A对角化后很容易得到方程的解。对角化的过程实 际上是一个去耦的过程。以前我们学习过相似变化对角化。那么，一 个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢？或者对角化需要什么 样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简 单呢？ 4
一、特征值与特征向量 1.定义：对m阶方阵A,若存在数入，及非零向量（列向量）x,使 得Ax=入x,则称入为A的特征值，x为A的属于特征值2的特 征向量。 ·特征向量不唯一 。特征向量非零 (λI-A)x=0有非零解，则det(2I-A)=0,称det(λI-A) 为A的特征多项式
一、 特征值与特征向量 1. 定义：对m阶方阵 A，若存在数λ ，及非零向量（列向量） x ，使 得 Ax x = λ ,则称λ 为 A的特征值，x为 A的属于特征值λ 的特 征向量。 • 特征向量不唯一 • 特征向量非零 • ( )0 λI Ax − = 有非零解，则det( ) 0 λI A − = ，称det( ) λI A − 为 A的特征多项式。 5