西安电子科技大学：《矩阵论》课程教学资源（电子讲义）第十讲 矩阵的三角分解（黄丘林）

第十讲矩阵的三角分解

第十讲 矩阵的三角分解 1

一、Gauss消元法的矩阵形式 n元线性方程组 a15+a1252+…+a1n5n=b a2151+a2252+…+a2n5n=b2 →Ax=b an5+an252+…+an5n=b /A=(a) x=[5,52,…5] b=[b,b2…bn]T 设A0=A=(ay)nm设A的k阶顺序主子式为△，若△，=a0≠0， 2

一、 Gauss 消元法的矩阵形式 n 元线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 11 2 2 n n n n n n nn n n aa a b aa a b aa a b  + ++ =   + ++ =     + ++ =     ξξ ξ ξξ ξ ξξ ξ → Ax b = T 1 2 T 1 2 ( ) [, , ] [, ] ij n n A a x b bb b   =     =   =     ξξ ξ 设 ( ) (0) ij n n A Aa × = = ,设 A 的 k 阶顺序主子式为∆k，若 (0) 1 11 ∆= ≠ a 0， 2

可以令c1 a哥 并构造Frobenius矩阵 1 0 07 L= C211 -C21 1 0 】 xn -Cn 计算可得 3

可以令 (0) 1 1 (0) 11 i i a c a = 并构造 Frobenius 矩阵 21 1 1 1 0 1 0 1 n n n c L c ×     =           → 1 21 1 1 1 0 1 0 1 n c L c −     − =         −   计算可得 3

a A0=LA0)= a →A0=LAD 0 a 初等变换不改变行列式，故△2=a9a,若△，≠0，则a≠0，又可 定义 c2=a2(i=3,4,…m),并构造Frobenius矩阵 4

(0) (0) (0) 11 12 1 (1) (1) (1) 1 (0) 22 2 1 (1) (1) 2 0 n n n nn aa a a a A LA a a −     = =       → (0) (1) A LA = 1 初等变换不改变行列式，故 (0) (1) 2 11 22 ∆ = a a ，若 2 ∆ ≠ 0，则 (1) 22 a ≠ 0，又可 定义 (1) 2 2 (1) 22 ( 3,4, ) i i a cin a = =  ，并构造 Frobenius 矩阵 4

Γ1 1 L2 C32 → -C32 C 1 一Cn2 1」 d a 是 A2)=L5A0= A0=LA2) 依此类推，进行到第(-1)步，则可得到 5

2 32 2 1 1 1 n L c c     =     → 1 2 32 2 1 1 1 n L c c −     = −   −   (0) (0) (0) (0) 11 12 13 1 (1) (1) (1) 22 23 2 (2) 1 (1) (2) (2) 2 33 3 (2) (2) 3 n n n n nn aaa a aa a A LA a a a a −     = =         → (1) (2) A LA = 2 依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到 5