第六讲Jordon标准形的变换与应用
第六讲 Jordon 标准形的变换与应用 1
一、Jordon标准形变换矩阵的求法 P1AP=J→ AP=PJ 1°将P按J的结构写成列块的形式 P=[BB…P] 个个个 m m2 m, 2
一、 Jordon 标准形变换矩阵的求法 -1 P AP = J → AP PJ = 1° 将 P 按 J 的结构写成列块的形式 [ 1 2 ] 1 2 r r P PP P mm m = ↑↑ ↑ 2
[J →A[BB·P]=[BB…P] J2 J,】 →AP=PJ(i=1,2,r) 2°求解r个矩阵方程AP=PJ,(i=1,2…,r) 3°将r个P合成变换矩阵P=[BP…P,] ★关于方程AP=PJ的求解 P=[PP2·Pm] 3
→ [ ] [ ] 1 2 1 2 r r 1 2 r J J AP P P P P P J = → 1 2 AP PJ ( i , ,r ) i ii = = 2 求解 r 个矩阵方程 1 2 AP PJ ( i , ,r ) i ii = = 3 将 r 个Pi 合成变换矩阵P PP P = [ 1 2 r ] ★ 关于方程 AP PJ i ii = 的求解 1 2 i P PP P i i i im = 3
1 0 A[BnB…P]=[BB…P] 0 AP1=人P →（A-2IP1=0 AP2=P+P2→(A-IP2=P→(A-2IPP2=0 APm=Pm-1+1,Pm→(A-IPm=Pm-1→(A-九I"Pm=0 两种具体做法：（i)按照P,→P2→…→Pm的顺序求解，即先求 出特征向量P,然后由后续方程求出P2、P3、;(ⅱ)先求 4
1 2 1 2 1 0 1 0 i i i i i i im i i im i AP P P P P P λ λ λ = AP P i ii 1 1 = λ → 1 0 i i ( A I )P − = λ AP P P i i ii 21 2 = + λ → ii i 2 1 ( A I )P P − = λ → 2 2 0 i i (A I) P − = λ 1 ii i AP P P im im i im = + − λ → 1 i i i im im ( A I )P P − = λ − → 0 i i m i im (A I) P − = λ 两种具体做法: (ⅰ) 按照PP P i i 1 2 → →→ im的顺序求解，即先求 出特征向量 Pi1 ，然后由后续方程求出 Pi2 、 Pi3 、…；（ⅱ）先求 4
(A-2I)mP=0的解向量P,然后直接得到 Pm-1→Pm-2→…→P1 前一做法由于(A-入I)为奇异矩阵，每一步均存在多解及无解问 题，故各步之间不能完全独立，前一步尚需依赖后一步、再后一步、…， 直至最后一步才能完全确定一些待定系数：而后一做法仅出现一次求 解方程，其余为直接赋值，无上述问题。但又可能导致低阶P出现零 向量的问题。 由于P,=(A-I)mPm P2 =(A-A1)2Pm
0 i i m i im (A I) P − = λ 的解向量 i Pim ，然后直接得到 12 1 i i PP P im im − − → →→ i 前一做法由于 i (A I) − λ 为奇异矩阵，每一步均存在多解及无解问 题，故各步之间不能完全独立，前一步尚需依赖后一步、再后一步、…， 直至最后一步才能完全确定一些待定系数；而后一做法仅出现一次求 解方程，其余为直接赋值，无上述问题。但又可能导致低阶 i Pim 出现零 向量的问题。 由于 1 1 i i m P (A I) P i i im − = − λ 2 2 i i m P (A I) P i i im − = − λ 5