第2章解析函数 By 付小宁
第2章 解析函数 By 付小宁
§1解析函数的概念 ·1.1.1复变函数的导数 定义1设函数f(z)在包含z的某区域D内有定义，当 变量Z在点zo处取得增量△z(zo+△2∈D)时，相应地， 函数f(z)取得增量 △w=f(z0+△z)-f(20) ·若极限 lim f(z0+△z)-f(zo) Λ2>0 △z f(2)-/(zo) ● (或 lim (2.1) 2→20 z-Z0 ·存在，则称f(z)在点z。处可导
• 1.1.1复变函数的导数 • 定义1 设函数 在包含 的某区域 内有定义，当 变量 在点 处取得增量 时，相应地， 函数 取得增量 • 若极限 • （或 ） （2.1） • 存在，则称 在点 处可导， f (z) 0 z D z 0 z z( ) z0 + z D ( ) ( ) 0 0 w = f z + z − f z f (z) z f z z f z z + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim z z f z f z → z z − − f (z) 0 z §1 解析函数的概念
·此极限值称为f(z)在点z处的导数，记作f'(z) dw 或 dz 即 2二20 dw f(z0+△z)-f(z) f'(2o)= =1 dz 二20 Λz→0 △z 如果函数f()在区域D内每一点都可导， 则称f()在D内可导. 如果函数∫()在曲线L上每一点都可导， 则称f(z)在L上可导
• 此极限值称为 在点 处的导数，记作 或 ，即 如果函数 在区域 内每一点都可导， 则称 在 内可导. • 如果函数 在曲线 L上每一点都可导， 则称 在 L上可导. f (z) 0 z ( ) 0 f z 0 z z dw dz = 0 0 0 ( ) ( ) lim z f z z f z z → + − = 0 f z ( ) = 0 z z dw dz = f (z) D f (z) D f (z) f (z)
·例1求函数f(z)=z”的导数(n为正整数). ·解因为 (z+△)”=∑C所z(A)-= k=0 (A)”+C(A2)”-z+C(△z)"-2z2+…+C(△z)”"z” 所以，由导数定义有 f'(z)=(z")'=im (2+△2)”-z” △2-→0 △z =[(A)1+C(A)2z++Cz] nzn-1
• 例1 求函数 的导数（ 为正整数）. • 解 因为 所以，由导数定义有 ( ) n f z z = n 0 ( ) ( ) n n k k n k n k z z C z z − = + = = n n n n n n n n n n z C z z C z z C z z − − − ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) 1 1 2 2 2 f z ( ) = z z z z z n n z n + − = → ( ) ( ) lim 0 lim [( ) ( ) ] 1 1 2 1 1 0 − − − − → = + + + n n n n n n z z C z z C z n 1 nz − =
例2问f(z)=x+2yi是否可导？ 解 lim f f(z+△z)-f(z) △z0△Z △z>0 △z lim (x+△x)+2(y+△y)i-x-2yi △z-→0 △z J △x+2△yi lim △y=0 △z→0 △x+△yi 设z+△z沿着平行于x轴的直线趋向于z
例2 问f (z) = x + 2 yi是否可导？ z f z z f z z f z z + − = → → ( ) ( ) lim lim 0 0 解 z x x y y i x yi z + + + − − = → ( ) 2( ) 2 lim 0 x yi x yi z + + = → 2 lim 0 设z + z沿着平行于x 轴的直线趋向于z， x y o z y = 0