上降充通大￥ SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 第十一章无界数理方程 的初值问题 §11.2.1 Fourier?变换的应用 w 上海交通大学数学系 唐异垒
§11.2.1 Fourier变换的应用 上海交通大学数学系 唐异垒 第十一章 无界数理方程 的初值问题
上游充通大￥ §11.2.1 Fourier的应用 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 1无界非齐次热传导方程的初值问题 -u =a1 定解问题 Ot +f(x,t), t>0 (1) u(x,0)=p(x), -0<X<+0 解： 设p(x),f(x,t),u(x,t)关于x∈（-o,+oo)的F-变换分别为 D(@)=[p(x)eidx,F(@.t)=f(x,t)eidx, U(o,)=(x,)eodx,这里将t看作参数，对x求F-变换， (微分性质)→ dU(o,0=a2(iw)2.U(o,)+F(o, ,t>0 dt U(0,0)=Φ(o):
解： 2 2 2 ( , ), 0 (1) ( ,0) ( ), u u a f xt t t x ux x ϕ x ∂ ∂ =+ > ∂ ∂ = −∞ < < +∞ 定解问题 d ( ,) 2 2 ( ) ( , ) ( , ), 0 ( ) d ( ,0) ( ), U t ai U t F t t t U ω ωω ω ω ω = ⋅+ > ⇒ = Φ 微分性质 1 无界非齐次热传导方程的初值问题 §11.2.1 Fourier的应用 ( ), ( , ), ( , ) , () d, (,) d, ( ( ) F ,) d, ( ,) U( , ) i x i x i x x f xt uxt x e x f xt e x uxt e x t x t t ω ω ω ϕ ω ω ϕ ω +∞ +∞ − − ∞ ∞ +∞ − ∞ ∈ ∞ +∞ =⋅ = ⋅ = ⋅ Φ ∫ ∫ ∫ - - - 设 关于x (- )的F-变换分别为 这里将 看作参数，对 求F -变换
上海充通大 求解U(o,t)关于t的一阶非齐次ODE初值问题 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (⑩看作参数士 dU(o,0=-ao2.U(o,0）+F(o,),1>0 dt U(0,0)=Φ(0)， 再对t求Laplace变换，设U(o,t),F(o,t)关于t∈(0，+oo)的L-变换 分别为U,(o,p),F(@,p),这里将o看作参数， -pU(@,p)-U(@,O)=-a'@'U(@,p)+F(@,p), 由对应齐次男程下=0)特征值y=-aw2,从而得到通解 U(@,t)=C(o)eaot.由参数变异法， 得到非齐次方程解形式为：U(o,t)=C(o,)eao →U(o,）=Φ(o)eo+F(o,zeo-rx
d ( ,) 2 2 ( , ) ( , ), U( , ) ODE ( ) 0 d ( ,0) ( ), : U t a U tF t t t t t U ω ωω ω ω ω ω ω =− ⋅ + > = Φ 求解 关于 的一阶非齐次 初值问题 看作参数 2 2 2 2 2 2 : = , ( , ) ( ) . ( , ) ( , ) . a t a t a UtCe U t C te ω ω γ ω ω ω ω ω − − − = = ⋅ 由对应齐次方程(F=0)特征值 从而得到通解 由参数变异法， 得到非齐次方程解形式为： 2 2 2 2 ( ) 0 ( ,) ( ) ( , ) d t a t a t Ut e F e ω ω τ ω ω ωτ τ − − − ⇒ = Φ + ∫ 1 1 2 2 1 1 1 Laplace , ( , ), ( , ) 0, ( , ), ( , ) ( , ) ( ,0) ( , ) ( , ) t U tF t U pF p pU p U a U p F p ω ω ωω ω ω ω ωω ω ∈ +∞ ⇒ − =− + 再对 求 变换 设 关于t( )的L-变换 分别为 ，这里将 看作参数， ， Φ( ) ω
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 解出U(o,p)=f(@,p)+ΦD(o） p+a@? -a.r'U(o,p1”z1oDto 关于t p+ao- =r%1e0 5apri2dloEp+da 卷积公式 =F(@,t)*e-an'i+D(@)e-o@i =F(@.tk-dr+)e 2 2 1 1 e ←> ea ←〉 P+a2@2 D-
2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) 0 (,) ( ) [ ][ ] 1 1 [ ( , )]* [ ] ( ) [ ] ( , )* ( ) (,) d () a t a t t a t a t F p L L pa pa LF p L L p a p a F te e Fe e ω ω ω τ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ωτ τ ω − − − − − − − − − − Φ = + + + = +Φ ⋅ + + = + Φ = ∫ + Φ 卷积公式 p a e at − ↔ 1 2 2 2 2 1 ω ω p a e a t + − ↔ 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 (,) () (,) (,) () ( , ) [ ( , )] [ ] t p F p U p p a F p U t LU p L p a ω ω ω ω ω ω ω ω ω − − + Φ = + + Φ ⇒= = + 关于 关于 解出
上游充通大粤 U(o.)=(oer+ro,d关于ol取g-, SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY →wx,t)=F-Uo,t】-坐'[o(o)eo+jF(o,rkio-dt 关于0 =(w)e]+F(@.ev-dr] 卷积公式 ]]+F(,)]*ed] 钟形脉冲函数 三 关于x udanrn 4d(1-)dt 卷积定义 (x-S)2 m川2 (x-s) 4d2(-)dsdt. 4a2 ←>ea2o2 2a√t
a t a t x e e a t 2 2 2 2 4 2 1 ω π − − ↔ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 0 1 1 ( ) 0 1 1 1 1 () 0 4 ( , ) [ ( , )] [ ( ) ( , ) d ] [ () ] [ (,) d] [ ( )]* [ ] [ ( , )]* [ ]d ] 1 = ( )* ( 2 t a t a t t a t a t t a t a t x a t x uxt U t e F e e Fe e Fe x ef a t ω ω ω τ ω ω τ ω ω τ ω ω ωτ τ ω ωτ τ ω ω τ τ ϕ π − − − − − − − − − − − − − − −− − − ⇒ = =Φ + =Φ + =Φ + + ∫ ∫ ∫ 关于 卷积公式 钟形脉冲函数 关于 F F F F FF F F 2 2 2 2 2 2 4( ) 0 ( ) ( ) 4 4( ) 0 1 , )* d 2 () 1 (, ) () d dd . 2 2 () x t a t x s x s t a t a t x e a t f s se s e s a t a t τ τ τ τ π τ τ ϕ τ π π τ − − − − − − +∞ +∞ − ∞ −∞ − = ⋅+ − ∫ ∫ ∫∫ 卷积定义 - 2 2 2 2 ( ) 1 0 ( ,) ( ) ( , ) d t a t a t Ut e F e ω ω τ ω ω ωτ τ ω − − − − =Φ + ∫ 关于 取F