例1. 求函数 f(x,J)=x3 -3 +3x2 +3y2-9x的极值解：第一步求驻点f(x,y)=3x2+6x-9=0解方程组f,(x,y)= -3y2 +6y=0得驻点:（1,0)，（1,2)，(-3,0)，（-3,2)CB判别.求二阶偏导数第二步fxr(x,y)=6x+6, fxy(x,y)=0, fyy(x,y)= -6y+6在点(1,0)处A=12,B=0,C=6AAC-B2=12×6>0, A>0：f(1,0)=-5为极小值上页目录下页返回结束机动
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C 的极值. 求二阶偏导数 f ( x, y) = 6 x + 6 , x x f ( x, y) = 0 , x y f ( x, y) = −6 y + 6 y y 1 2 6 0 , 2 A C − B = A 0
在点(1,2) 处 A =12, B=0, C=-6AC- B2 =12×(-6)<0, : f(1,2)不是极值;在点(-3,0)处A=-12,B=0,C=6AC-B2=-12×6<0, :: f(-3,0)不是极值;在点(-3,2)处 A=-12,B=0,C=-6AC- B2 =-12×(-6)>0, A<0,：f(-3,2)=31为极大值fxx(x,y)=6x+6, fx(x,y)=0, fyy(x,y)=-6y+6BCA上页目录下页返回结束机动
在点(−3,0) 处 不是极值; 在点(−3,2) 处 为极大值. f ( x, y) = 6 x + 6 , x x f ( x, y) = 0 , x y f ( x, y) = −6 y + 6 y y 1 2 6 0 , 2 A C − B = − 1 2 ( 6) 0 , 2 A C − B = − − A 0 , 在点(1,2) 处 1 2 ( 6) 0 , 不是极值; 2 A C − B = − A B C
例2.讨论函数 z=3 +3及z=(x2 +2)2在点(0,0)是否取得极值解：显然（0,0都是它们的驻点，并且在(0,0)都有AC-B?=0在（0.0）点邻域内的取值=s+1正可能为负，因此z(0,0)不是极值O当x2 + 2 0时, z=(x2 +2)>≥(0.0) =0因此 z(0,0)=(x2 +2) [(0,0) =0为极小值,目录上页返回结束机动下页
例2.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 0 , 当 x 2 + y 2 时 2 2 2 z = ( x + y ) 0 z (0,0) = 为极小值. 正 负 0 在点(0,0) x y z o 并且在 (0,0) 都有 可能为