特征值与特征向量 冬定义： ·对m阶方阵A,若存在数，及非零向量（列向量)x ·使得Ax=x trA=∑ detA=Π ·则称为A的特征值 i=l ·x为A的属于特征值的特征向量 ·特征向量不唯一 A的特征多项式 ·特征向量非零 ·(I-)x=0有非零解，则det(I-A)=0 阶方阵A可通过相似变换对角化的充要条件是 它具有n个线性无关的特征向量 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6 特征值与特征向量 定义： 对m阶方阵A，若存在数λ，及非零向量（列向量）x 使得Ax = λx 则称λ为A的特征值 x为A的属于特征值λ的特征向量 • 特征向量不唯一 • 特征向量非零 • (λI - A) x = 0有非零解，则det (λI - A) = 0 A的特征多项式 1 tr n i i A λ = = ∑ 1 det n i i A λ = = ∏ n阶方阵A可通过相似变换对角化的充要条件是 它具有n个线性无关的特征向量
第四讲矩阵对角化 冬内积空间 冬正规矩阵 冬酉对角化 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 7 第四讲 矩阵对角化 内积空间 正规矩阵 酉对角化
内积空间 冬Euclid空间 一定义 ·设V是实线性空间(k∈R),对于V中任何两个元素、 y均按某一规则存在一个实数与之对应，记为x,),若 它满足以下四个性质，则称x,y)为x与y的内积，定义 了内积的实线性空间称为Euclid空间 ·(1)交换律(c,y)=0,) ·(2)分配律(c,y+z=c,y)+(c,) ·（3)齐次律(c,y)=k(,y) ▣(4)非负性，c,x)≥0 ·当且仅当x=0时，cx)=0 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8 内积空间 Euclid空间 ——定义 设V是实线性空间（k∈R），对于V中任何两个元素x、 y均按某一规则存在一个实数与之对应，记为(x , y)，若 它满足以下四个性质，则称(x , y)为x与y的内积，定义 了内积的实线性空间称为Euclid空间 （1）交换律 (x , y)= (y, x) （2）分配律 (x , y + z)= (x , y)+ (x , z) （3）齐次律 (kx , y) = k (x , y) （4）非负性 ， (x , x)≥0 • 当且仅当x=0时, (x ,x)=0
内积空间 对于一个给定的线性空间，可以定义多种 内积，较典型的如三维向量空间的数量积 就满足以上四条性质，构成内积 必以n维向量空间为例 x=[552…5n]yy=n1n2…nn] 定义内积(x,y)=∑"，5n lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 9
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9 内积空间 对于一个给定的线性空间，可以定义多种 内积，较典型的如三维向量空间的数量积 就满足以上四条性质，构成内积 以n维向量空间为例 定义内积 [ ] T n x = ξ 1 ξ 2 ξ [ ] T n y = η1 η 2 η ( ) 1 , n iii i xy w ξ η = = ∑
内积空间 ·验证内积的四条性质 1D(x,川=2初=2n5=(,刘白 交换律 分配律 2)(x,y+)=立5+s)=5n+2m=(x,川+(x, (3)(,川=2(5m=k2"5=(,月月 齐次律 (4)(x)=2,5≥0当且仅当x=0时，(x,x)=0→ 非负性 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 °。。。。10
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 10 内积空间 验证内积的四条性质