《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 复变函数的积分

复积分的性质性质3.1（方向性）若函数(z)沿曲线C可积，则[ f(z)dz =-[ f(2)dz.C性质3.2（线性性）若函数(z)和g(z)沿曲线C可积，则[(α f(z) + βg(z)dz =α / f(z)dz +β[ g(z2)dz.C其中α,为任意常数

复积分的性质 性质3.1（方向性）若函数f(z)沿曲线C可积，则 ( )d ( )d . C C f z z f z z − = −   性质3.2（线性性）若函数f(z)和g(z)沿曲线C可积，则 ( ( ) ( ))d ( )d ( )d , C C C     f z g z z f z z g z z + = +    其中,为任意常数

性质3.3（对积分路径的可加性）若函数（z）沿曲线C可积，曲线C由曲线段，依次首尾相接而成，则[ f(z)dz = [ f(z)dz + [ f(z)dz +...+ ( f(z2)dz.CIC2C

性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f(z)沿曲线C 可积，曲线C由曲线段,依次首尾相接而成，则 1 2 ( )d ( )d ( )d ( )d . C C C Cn f z z f z z f z z f z z = + + +    

性质3.4（积分不等式）若函数（z）沿曲线C可积，且对VzEC，满足|f(-)|≤ M,曲线C的长度为L,则[ f()d2 ≤J1f(2)]ds ≤ML,其中 ds=d=ax2+dy2，为曲线c的弧微分.记s为z与之间的弧长Zf(5r)Az≤I(5)A/≤(5k)askk=1k=1[ f(z)dz≤ [f(z)]ds元→0两端取极限CZIf(S)]Ast ≤MZAsk = ML, [ f(z)d≤ [If(z)]ds ≤ MLk=1k=l

性质3.4（积分不等式）若函数f(z)沿曲线C可积，且对  z C , 满足 f z M ( )  , 曲线C的长度为L,则 ( )d ( ) d , C C f z z f z s ML     其中 , 为曲线C的弧微分. 2 2 d d d d s z x y = = + 记sk为zk-1与zk之间的弧长 1 1 1 ( ) ( ) ( ) . n n n k k k k k k k k k f z f z f s    = = =          →0 两端取极限 ( )d ( ) d . C C f z z f z s    1 1 ( ) , n n k k k k k f s M s ML  = =      = ( )d ( ) d . C C f z z f z s ML    

dz=0试证：limo例221元个1+证明不妨设r<1我们根据估值不等式知2tIdzdz2+222三r2π4≤1 - r2上式右端当r趋于零时，极限为零，故得证

* 例 证明 不妨设r<1,我们根据估值不等式知 试证： 上式右端当r趋于零时，极限为零，故得证

复积分的基本计算方法dz例令C表示连接点a与b的任一曲线，求解：nf(z)= 1, Sn =1(zk - zk-1) =b-αk=1

复积分的基本计算方法 例 令C表示连接点a与b的任一曲线，求 解：