例令C表示连接点a与b的任一曲线，求zdzC解早（1)（k=Zk-1nSt=Zk-1(zk-Zk-1)k=1(2) Sk = ZknSn=ZZk(zk - Zk-1)k=1n%一%1Z.12-zk-1+zk)(zk-zk-1)2k=1
解 （1） （2） 例 令C表示连接点a与b的任一曲线，求
参数方程法理论基础已知(z）沿C连续，所以必有u、v都沿C连续，于是这两个第二类曲线积分都存在.因此积分存在，且[ f(z)dz = [ udx - vdy+i vdx + udyCCC
已知f(z) 沿C连续，所以必有u、v都沿C连续，于是这 两个第二类曲线积分都存在.因此积分存在，且 ( )d d d i d d . C C C f z z u x v y v x u y = − + + 参数方程法 理论基础
参数方程法设C为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为z=z(t)=α(t) +iy(t), α≤t≤β参数-α时对应曲线C的起点，-β时对应曲线C的终点.设（）沿曲线C连续，则f(z(t)) = u(x(t), y(t) +iv(x(t), y(t) =u(t)+iv(t)(Dd:(uiv(x(i(dlaJz(oz(DdeSfazfzdJa
* 设f(z)沿曲线C连续，则 f z t u x t y t v x t y t u t v t ( ( )) ( ( ), ( )) i ( ( ), ( )) ( ) i ( ). = + = + 参数方程法 设C为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为 参数t=α时对应曲线C的起点，t=β时对应曲线C的终点
例计算「_zdz，C:从原点到点3+4i的直线段.解军 C的参数方程为： z=(3+4i)t, 0≤t≤1dz =(3+4i)dt,J.zdz = f'(3 + 4i) tdt= (3 + 4i) T'tdt(3 + 4i)27222
例解 计算 zdz, C :从原点到点3 4i的直线段. C + C z i t t 的参数方程为: (3 4 ) , 0 1 = + dz = (3 + 4i)dt, d (3 4 ) d 10 2 z z = + i t t C (3 4 ) d 10 2 = + i t t 2 (3 4 ) 7 24 = - . 2 2 2 i i + = + *
[ 2′ dz 和[ Im(z)dz例分别沿下列路径计算积分C(1)C为从原点(0,0)到(1,1)的直线段；(2) C为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段解：(1) C的参数方程为 ： z=(1+i)t, t从0到1[ 2dz = f (1+i)t)’d(1+ i)t) = f'(1+i)(1+i)t)’dt(1+i)()=(1 + i)3,31+iIm(z)dz = (1 +i)tdt=20
例 分别沿下列路径计算积分 和 2 d C z z Im( )d C z z (1) C为从原点(0,0)到(1,1)的直线段； (2) C为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段. 解： (1) C的参数方程为：z=(1+i)t, t从0到1 . 1 1 2 2 2 0 0 3 3 3 1 0 d ((1 i) ) d((1 ) ) (1 i)((1 i) ) d (1 i) (1 i) . 3 3 C z z t i t t t t = + + = + + + = + =