说明： (1) (2）=C-m+C-m+1(z-0)+C-m+2(z-Z0)2+. 特点：1在z-z<δ内是解析函数 2.g()≠0 (2)如果为函数f(z)的极点，则imf(z)=oo. 3z+2 例5有理分式函数f(z)= z2(z+2) z=0是二级极点，z=-2是一级极点
说明: g(z) = c−m + c−m+1 (z − z0 ) + c−m+2 (z − z0 ) 2 + 1. 在z − z0 内是解析函数 2. g(z0 ) 0 特点: (1) (2) 如果 z0 为函数 f (z) 的极点 , 则 lim ( ) . 0 = → f z z z 例5 有理分式函数 , ( 2) 3 2 ( ) 2 + + = z z z f z z = 0是二级极点, z = −2 是一级极点. 11
(2)极点的极限特征 定理5.2(1)设函数f(z)在0<z-z0<内解析， 那么z是f(z)极点的充要条件是：limf(z)=oo. 2→20 (2)z是f(z)的m阶极点的充要条件是： lim(z-zo)”f(z)=C-m, z→20 m是一个正整数，C是不等于零的复常数. 12
定理5.2(1)设函数f (z)在0 z − z0 内解析， (2)z0 是f (z)的m阶极点的充要条件是： lim ( ) ( ) , 0 0 m m z z z z f z C− → − = m是一个正整数,C−m 是不等于零的复常数. ( ) lim ( ) . 0 0 = → z f z f z z z 那么 是 极点的充要条件是： 12 (2)极点的极限特征
3)极点的判定 (1)由定义判别 f(z)的洛朗展开式中含有z-乙的负幂项为有限项. (2)由定义的等价形式判别 在点z的某去心邻域内f(a)= 8(z) (2-z)m 其中g(z)在z的邻域内解析，且g(zo)≠0. 3)利用极限。f(=)=判断
f (z) 的洛朗展开式中含有 z − z0 的负幂项为有限项. 在点 z0 的某去心邻域内 m z z g z f z ( ) ( ) ( ) − 0 = 其中 g(z) 在 z0 的邻域内解析, 且 ( ) 0. g z0 (1) 由定义判别 (2) 由定义的等价形式判别 (3) 利用极限 = → lim ( ) 0 f z z z 判断 . 13 (3)极点的判定
课堂练习 1 求2-2-z+1 的奇点，如果是极点，指出它的阶数 答 1 由于2-2-z+1e+10x- 所以：z=-1是函数的一级极点， z=1是函数的二级极点. 14
课堂练习 求 1 1 3 2 z − z − z + 的奇点, 如果是极点, 指出它的阶数. 答案 = − − + 1 1 3 2 z z z 由于 所以: z = −1是函数的一级极点, z = 1是函数的二级极点. , ( 1)( 1) 1 2 z + z − 14