《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 行列式 1.4 克拉默法则

§1.4克拉默法则 一、克拉默法则 二、重要定理 三、小结思考题

§1.4 克拉默法则 一、克拉默法则 二、重要定理 三、小结思考题

一、克拉默(Cramer法则 %1x1+012x2++a1mxn=b 线性方程组 21X1+02z火2+.+2nXn=b2 (1) amx1+an2x2++amxn=b 若常数项b,b2,b3,.bn不全为零，则此方程组为非 齐次线性方程组，若常数项b,b2,b,.bn全为零，则 此方程组为齐次线性方程组

11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  此方程组为齐次线性方程组， 齐次线性方程组 若常数项 全为零 则 若常数项 不全为零 则此方程组为非 , , , , , , , , , 1 2 3 1 2 3 n n b b b b b b b b   一、克拉默(Cramer)法则 线性方程组

线性方程组1)可简写为 会，时=41=12n 由线性方程组(1)的系数构成的行列式 L12 D= 21 @2n . 称为线性方程组(1)的系数行列式

n n nn n n a a a a a a a a a D     1 2 21 22 2 11 12 1 = 1 1,2, , n ij j i j a x b i n =  = = 线性方程组(1)可简写为 由线性方程组(1)的系数构成的行列式 称为线性方程组(1)的系数行列式

定理1.4.2如果线性方程组1)的系数行列式D≠0，则 线性方程组(1)有解，并且解唯一，解可表示为 其中D,是把系数行列式D中第列的元素用方程组 中右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即 D .nj-H Ln,j.0m

. D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 3 3 2 2 1 1 n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D      1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 中右端的常数项代替后所得到的 阶行列式 即 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组 n , D D j j 线性方程组 有解 并且解唯一 解可表示为 定理 如果线性方程组 的系数行列式 则 (1) , , 1.4.2 (1) D  0

证明：1、存在性 D,=bru+++bdw=by 把x,三代入第=1,2，个方程，待 -8,8-62（②4 =1 1 2b.dgdo =Dh agdy -h D=bo D i=1 s=l 故x= 是方程组的解。 D

证明： 1、存在性 1 1 2 2 1 n j j j n nj s sj s D b A b A b A b A = = + + + =  把 代入第 i(i=1,2,.,n)个方程，得 D D x j j = i i n s n j s i j s j n j n s s i j i j n j n s i j s s j n j j i j n j i j j b D b D b a A D b a A D a b A D D D a x a = = = =         = =        = = = = = = = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 故 是方程组的解. D D x j j =