11912.3复合函数和链式法则2.求下列曲面在指定点的切面和法线：(1) r(u,v) = (u, acosu,asinv), (u, v) = (uo, vo),(2) z = r? +y2, (r, y,2) = (1,2, 5),(3)r(u,u)= (asinucos,bsinusinu,ccosu), (u,u)= (uo, o)3.设DCR"为开集，f：D→R具有连续的偏导数.f的图像graph(f)是R"+1中的超曲面，其中graph(f) = ((z, f() [r E D) C Rn+1求此超曲面在任何一点的法向量和切空间方程4.求三维球面z2+y2+22+w2=1在任意一点的法向量和切空间方程812.3复合函数和链式法则我们线性化的方法来研究向量值的多元函数定义12.3.1（微分).设D为Rn中开集，f：D→Rm为向量值的多元函数，oED.如果存在线性映射L：Rn→Rm，使得在ro附近成立f() -f() =L(a-) +o(-ll), (→0)则称f在处可微，L称为于在处的微分，也记为f()f(r）的第i（1<i≤m）个分量记为fi(r）从定义不难看出，可微时它的每一个分量均可微，反之亦然此时，利用欧氏空间的标准基，线性映射L可表示为m×n型矩阵，记为Jf(r).Jf(r°）称为f在°处的Jacobi矩阵，其行列式称为Jacobi行列式.注意到Jf(ro)的第i行就是f；在ro处的梯度Vf(ro),因此(ofi(r)Jf(r°) =(12.6)(arjmv我们想将微分中值定理推广到向量值函数.设D为R"中凸域，,yED.根据微分中值定理，对于的每一个分量f；均存在$ED，使得fi(a) - fi(g) = Vfi(s) (r - y)但下面的例子说明这些未必相同.例12.3.1.考虑函数f:R→R2,f(t)=(t2,t3)取=1,y=0,简单的计算表明1=1/2,52=±1/V3,因此S1≠2.此例表明，一般地我们不能指望f(a)-f(y)=Jf(s)(r一y)对某个成立.不过，我们有
§12.3 复合函数和链式法则 11 2. 求下列曲面在指定点的切面和法线: (1) r(u, v) = (u, a cos v, a sin v), (u, v) = (u0, v0), (2) z = x 2 + y 2 , (x, y, z) = (1, 2, 5), (3) r(u, v) = (a sin u cos v, b sin u sin v, c cos u), (u, v) = (u0, v0). 3. 设 D ⊂ R n 为开集, f : D → R 具有连续的偏导数. f 的图像 graph(f) 是 R n+1 中的超曲面, 其中 graph(f) = {(x, f(x))| x ∈ D} ⊂ R n+1 , 求此超曲面在任何一点的法向量和切空间方程. 4. 求三维球面 x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 在任意一点的法向量和切空间方程. §12.3 复合函数和链式法则 我们线性化的方法来研究向量值的多元函数. 定义 12.3.1 (微分). 设 D 为 R n 中开集, f : D → R m 为向量值的多元函数, x 0 ∈ D. 如果存在线性映射 L : R n → R m, 使得在 x 0 附近成立 f(x) − f(x 0 ) = L(x − x 0 ) + o(kx − x 0 k), (x → x 0 ) 则称 f 在 x 0 处可微, L 称为 f 在 x 0 处的微分, 也记为 df(x 0 ). f(x) 的第 i (1 ≤ i ≤ m) 个分量记为 fi(x). 从定义不难看出, f 可微时它的每 一个分量均可微, 反之亦然. 此时, 利用欧氏空间的标准基, 线性映射 L 可表示为 m × n 型矩阵, 记为 Jf(x 0 ). Jf(x 0 ) 称为 f 在 x 0 处的 Jacobi 矩阵, 其行列式称为 Jacobi 行列式. 注意到 Jf(x 0 ) 的第 i 行就是 fi 在 x 0 处的梯度 ∇fi(x 0 ), 因此 Jf(x 0 ) = ( ∂fi ∂xj (x 0 ) ) m×n . (12.6) 我们想将微分中值定理推广到向量值函数. 设 D 为 R n 中凸域, x, y ∈ D. 根 据微分中值定理, 对 f 的每一个分量 fi 均存在 ξi ∈ D, 使得 fi(x) − fi(y) = ∇fi(ξi) · (x − y). 但下面的例子说明这些 ξi 未必相同. 例 12.3.1. 考虑函数 f : R → R 2 , f(t) = (t 2 , t3 ). 取 x = 1, y = 0, 简单的计算表明 ξ1 = 1/2, ξ2 = ±1/ √ 3, 因此 ξ1 6= ξ2. 此例表 明, 一般地我们不能指望 f(x) − f(y) = Jf(ξ)(x − y) 对某个 ξ 成立. 不过, 我们有
12第十二章多元函数的微分定理12.3.1（拟微分中值定理).设D为R"中凸域，f：D→Rm在D中处处可微。则任给T，yED,存在EED，使得f()-f()l/≤Jf()l--yll证明基本的想法是对各分量的线性组合应用微分中值定理。为此，不妨设f(a)≠f(g).任意取定Rm中的单位向量u=(u1,.,um),记muifig=u·f=1=1则g为D中可微函数.根据微分中值定理，存在ED，使得g() -g(y) =Vg() (-y)Zu;Vf(S)。利用Cauchy-Schwarz不等式可得注意到Vg(S)=)-1mg()l -/f;()i=11/ = /J ()I/≤ (Ifi(S)I2)-由 g()-g(y)=·[f(a)-f(y) 可得[-[f() -f(y) ≤/g()l ll ≤Jf()l I -yll口在上式中取 u=[f(a)-f(y)]//f()-f(y)I就完成了定理的证明.下面我们研究向量值函数的复合求导定理12.3.2（复合求导).设D和△分别为Rn和Rm中的开集，f：D→Rm和g：△→R为向量值函数，且f(D)C△.如果f在ED处可微，9在yo=f(r）处可微，则复合函数h=go在ro处可微，且Jh(α)=Jg(y)-Jf(r)(12.7)证明.由f在ro处可微可知，在ro附近成立f()-f(r)= Jf(a)(-) +o(ll-rl)(12.8)这说明存在常数C,使得f(a)-f(ro)Il≤Cl-oll特别地，当→20时f()→f(r).同理，g在y°处可微，故(12.9)g(y)-g(y°)= Jg(yo)(y-y) + o(lly-yll)
12 第十二章 多元函数的微分 定理 12.3.1 (拟微分中值定理). 设 D 为 R n 中凸域, f : D → R m 在 D 中处 处可微. 则任给 x, y ∈ D, 存在 ξ ∈ D, 使得 kf(x) − f(y)k ≤ kJf(ξ)k · kx − yk. 证明. 基本的想法是对 f 各分量的线性组合应用微分中值定理. 为此, 不妨设 f(x) 6= f(y). 任意取定 R m 中的单位向量 u = (u1, · · · , um), 记 g = u · f = ∑m i=1 uifi , 则 g 为 D 中可微函数. 根据微分中值定理, 存在 ξ ∈ D, 使得 g(x) − g(y) = ∇g(ξ) · (x − y). 注意到 ∇g(ξ) = ∑m i=1 ui∇fi(ξ). 利用 Cauchy-Schwarz 不等式可得 k∇g(ξ)k ≤ ∑m i=1 |ui | · k∇fi(ξ)k ≤ kuk · (∑m i=1 k∇fi(ξ)k 2 )1/2 = kJf(ξ)k. 由 g(x) − g(y) = u · [f(x) − f(y)] 可得 u · [f(x) − f(y)] ≤ k∇g(ξ)k · kx − yk ≤ kJf(ξ)k · kx − yk. 在上式中取 u = [f(x) − f(y)]/kf(x) − f(y)k 就完成了定理的证明. 下面我们研究向量值函数的复合求导. 定理 12.3.2 (复合求导). 设 D 和 ∆ 分别为 R n 和 R m 中的开集, f : D → R m 和 g : ∆ → R l 为向量值函数, 且 f(D) ⊂ ∆. 如果 f 在 x 0 ∈ D 处可微, g 在 y 0 = f(x 0 ) 处可微, 则复合函数 h = g ◦ f 在 x 0 处可微, 且 Jh(x 0 ) = Jg(y 0 ) · Jf(x 0 ). (12.7) 证明. 由 f 在 x 0 处可微可知, 在 x 0 附近成立 f(x) − f(x 0 ) = Jf(x 0 )(x − x 0 ) + o ( kx − x 0 k ) . (12.8) 这说明存在常数 C, 使得 kf(x) − f(x 0 )k ≤ Ckx − x0k. 特别地, 当 x → x 0 时 f(x) → f(x 0 ). 同理, g 在 y 0 处可微, 故 g(y) − g(y 0 ) = Jg(y 0 )(y − y 0 ) + o ( ky − y 0 k ) . (12.9)
912.3复合函数和链式法则13在上式中代入y=f(a）可得h(r)-h(r)=Jg(y)[f(r)-f()+o(llf(r)-f(r)D)=[Jg(g) Jf(z)( -) + Jg()o(ll - ) +o(ll-l)=[Jg(y).Jf()](r-ro) +o(l-l),口这说明h在0处可微，且（12.7）式成立(12.7）式可以写成分量的形式- -. ..(12.10)drjariyk这也就是所谓的链式法则例12.3.2.设f(,y)可微，p(r）可微，求u=f(,(r))关于的导数解.由链式法则，un=f(a,0()).r+fy(z,p(a))·p(a)= fu(r,(r) + f(r,p(r)) (a)例12.3.3.设u=f(,y）可微，=rcoso,y=rsino,证明Quou1+一arae证明.由链式法则，ou_ouduOrOuyducoso+sineOrror+oyordrOydudrQudududuoysing+icoso0丽丽OrOrdy这说明duuurOuOuoucOs6+sine)sin+xcos6drdyara0adyOu)OuOraat202例12.3.4. 设z=f(u,v,w),u=(u,s),s=d(u,w),求Juw解.按照定义，z= f(u,u,w) =f(u,p(u,s),w) =f(u,p(u,b(u,w)),w)
§12.3 复合函数和链式法则 13 在上式中代入 y = f(x) 可得 h(x) − h(x 0 ) = Jg(y 0 ) [ f(x) − f(x 0 ) ] + o ( kf(x) − f(x 0 )k ) = [ Jg(y 0 ) · Jf(x 0 ) ] (x − x 0 ) + Jg(y 0 )o ( kx − x 0 k ) + o ( kx − x 0 k ) = [ Jg(y 0 ) · Jf(x 0 ) ] (x − x 0 ) + o ( kx − x 0 k ) , 这说明 h 在 x 0 处可微, 且 (12.7) 式成立. (12.7) 式可以写成分量的形式 ∂hi ∂xj (x 0 ) = ∑m k=1 ∂gi ∂yk (y 0 ) · ∂fk ∂xj (x 0 ), i = 1, · · · , l, j = 1, · · · , n. (12.10) 这也就是所谓的链式法则. 例 12.3.2. 设 f(x, y) 可微, ϕ(x) 可微, 求 u = f(x, ϕ(x)) 关于 x 的导数. 解. 由链式法则, ux = fx(x, ϕ(x)) · xx + fy(x, ϕ(x)) · ϕ(x) = fx(x, ϕ(x)) + fy(x, ϕ(x)) · ϕ(x). 例 12.3.3. 设 u = f(x, y) 可微, x = r cos θ, y = r sin θ, 证明 (∂u ∂x )2 + (∂u ∂y )2 = (∂u ∂r )2 + 1 r 2 (∂u ∂θ )2 . 证明. 由链式法则, ∂u ∂r = ∂u ∂x · ∂x ∂r + ∂u ∂y · ∂y ∂r = ∂u ∂x cos θ + ∂u ∂y sin θ ∂u ∂θ = ∂u ∂x · ∂x ∂θ + ∂u ∂y · ∂y ∂θ = −r ∂u ∂x sin θ + r ∂u ∂y cos θ 这说明 (∂u ∂r )2 + 1 r 2 (∂u ∂θ )2 = (∂u ∂x cos θ + ∂u ∂y sin θ )2 + ( − ∂u ∂x sin θ + ∂u ∂y cos θ )2 = (∂u ∂x )2 + (∂u ∂y )2 . 例 12.3.4. 设 z = f(u, v, w), v = ϕ(u, s), s = ψ(u, w), 求 ∂z ∂u, ∂z ∂w . 解. 按照定义, z = f(u, v, w) = f(u, ϕ(u, s), w) = f(u, ϕ(u, ψ(u, w)), w).
14第十二章多元函数的微分由链式法则，Ozafaf ouafaf100oas+Ju=uu（uJuafafaafdo=+JuOuduouasouafd0zafaffaasw=wdudwafafd=O+ousOu最后，我们简单地介绍全微分（形式微分）的概念从场论的观点出发比较自然场的观念起源于物理学.在物理学中，有所谓的标量（数量）场和矢量（向量）场.例如，密度和势能为标量场，引力场和电磁场为矢量场。从数学上看，标量场就是对空间中每一点都指定一个标量（有大小而无方向的量），也就是定义在空间中的函数；矢量场就是对空间中每一点都指定一个矢量（向量），也就是定义在空间中的向量值函数例12.3.5.梯度场设D为Rn中的开集，函数f：D→R在D中处处可微.我们在D中定义向量场Vf，使得它在a处的值为f在a处的梯度Vf(α).Vf称为f的梯度场利用Rn中的标准基(ei)=1，梯度场可以表示为af(a)e(off))(r) =>()=()(12.11)现在我们考虑R"的对偶空间（R"）*，它由所有从R"到R的线性映射所构成(R")*也是n维向量空间，它有一组对偶基(ei)=1,其中e:R"→R, eiEae)=Ay,VAi,,An eR.例12.3.6.1-形式设D为Rn中的开集.如果对D中每一点都指定（Rn）*中的一个向量w().则称w为D中的1-形式.利用对偶基，w可以表示为nw(r)=-w;(r)ej, E D,(12.12)j=1其中w(）为D中的函数.特别地，当函数f在D中处处可微时，它在aED处的微分df(r）属于(Rn)*，这样我们就得到一个1-形式，记为df，称为f的全微分
14 第十二章 多元函数的微分 由链式法则, ∂z ∂u = ∂f ∂u + ∂f ∂v · ∂v ∂u = ∂f ∂u + ∂f ∂v · (∂ϕ ∂u + ∂ϕ ∂s · ∂s ∂u ) = ∂f ∂u + ∂f ∂v · ∂ϕ ∂u + ∂f ∂v · ∂ϕ ∂s · ∂ψ ∂u ∂z ∂w = ∂f ∂w + ∂f ∂v · ∂v ∂w = ∂f ∂w + ∂f ∂v (∂ϕ ∂s · ∂s ∂w ) = ∂f ∂w + ∂f ∂v · ∂ϕ ∂s · ∂ψ ∂w . 最后, 我们简单地介绍全微分 (形式微分) 的概念. 从场论的观点出发比较自 然. 场的观念起源于物理学. 在物理学中, 有所谓的标量 (数量) 场和矢量 (向量) 场. 例如, 密度和势能为标量场, 引力场和电磁场为矢量场. 从数学上看, 标量场就 是对空间中每一点都指定一个标量 (有大小而无方向的量), 也就是定义在空间中 的函数; 矢量场就是对空间中每一点都指定一个矢量 (向量), 也就是定义在空间中 的向量值函数. 例 12.3.5. 梯度场. 设 D 为 R n 中的开集, 函数 f : D → R 在 D 中处处可微. 我们在 D 中定义向 量场 ∇f, 使得它在 x 处的值为 f 在 x 处的梯度 ∇f(x). ∇f 称为 f 的梯度场. 利用 R n 中的标准基 {ei} n i=1, 梯度场可以表示为 ∇f(x) = ( ∂f ∂x1 , · · · , ∂f ∂xn ) (x) = ∑n i=1 ∂f ∂xi (x)ei . (12.11) 现在我们考虑 R n 的对偶空间 ( R n )∗ , 它由所有从 R n 到 R 的线性映射所构成. ( R n )∗ 也是 n 维向量空间, 它有一组对偶基 {e j} n j=1, 其中 e j : R n → R, ej (∑n i=1 λiei ) = λj , ∀ λ1, · · · , λn ∈ R. 例 12.3.6. 1−形式. 设 D 为 R n 中的开集. 如果对 D 中每一点 x 都指定 ( R n )∗ 中的一个向量 ω(x), 则称 ω 为 D 中的 1−形式. 利用对偶基, ω 可以表示为 ω(x) = ∑n j=1 ωj (x)e j , x ∈ D, (12.12) 其中 ωj (x) 为 D 中的函数. 特别地, 当函数 f 在 D 中处处可微时, 它在 x ∈ D 处的微分 df(x) 属于 ( R n )∗ , 这样我们就得到一个 1−形式, 记为 df, 称为 f 的全微分