6第十二章多元函数的微分例12.1.5.求导次序不可交换的例子.考虑函数12-y2(,9)≠(0,0),y+y2f(r,y) =[o,(z, y) = (0, 0).计算表明fr(0,0)=1,fy(0,0)=-1.这说明上述定理中关于偏导数连续性的假设不可全去掉(但可减弱，参见本节习题）习题12.11.设f为多元函数，证明：如果u，为单位向量，且u=-u,则=-%2.计算偏导数：(1) f(,y) =+y+V +y,求f(3,4), f,(0,1),(2)f(,y,2)=(cosa/siny)e，求(元,号,ln3)处的一阶偏导数(3)f(z,y)=sin(r2y),求(1,1)处的一阶偏导数3.求下列函数的一阶偏导数(2) tan ;(3) cos(r2 + y2);(1) ry + ;(5) r2y3/2;(6) ery+y2+zr;(4) In(μ+);((7) arctan ;(8) ry;(9) ln(r1 +a2 +.. +an)4.求下列函数的一阶和二阶偏导数(1) r2y3;(2) In(ry);(3) arcsin(r+...+2);(6) er°+ryz.(4) en;(5) tan(arctan r +arctan y);5.设多元函数于的偏导数都存在且有界，证明f连续6.设D为Rn中区域如果多元函数f在D中的各个偏导数都恒等于零，证明于为常值函数，7.设f：R"→R为多元函数.如果对任意t≥0均有(ta)=t"f(a),则称f为m次齐次函数。证明：可微函数f为m次齐次函数当且仅当Zaif(a）==mf(ar).8.设u=ercosy,u=esiny,证明u=Uy,uy=-r9.记△=+%，称为平面R2上的Laplace算子，证明上题中的u,u满足方程u=u+uyy=0A=UUyy=0
6 第十二章 多元函数的微分 例 12.1.5. 求导次序不可交换的例子. 考虑函数 f(x, y) = xy x 2 − y 2 x 2 + y 2 , (x, y) 6= (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0). 计算表明 fxy(0, 0) = 1, fyx(0, 0) = −1. 这说明上述定理中关于偏导数连续性的假 设不可全去掉 (但可减弱, 参见本节习题). 习题 12.1 1. 设 f 为多元函数, 证明: 如果 u, v 为单位向量, 且 u = −v, 则 ∂f ∂u = − ∂f ∂v . 2. 计算偏导数: (1) f(x, y) = x + y + √ x 2 + y 2, 求 f 0 x (3, 4), f0 y (0, 1), (2) f(x, y, z) = (cos x/ sin y)e z , 求 (π, π 2 , ln 3) 处的一阶偏导数, (3) f(x, y) = sin(x 2y), 求 (1, 1) 处的一阶偏导数. 3. 求下列函数的一阶偏导数: (1) xy + x y ; (2) tan x 2 y ; (3) cos(x 2 + y 2 ); (4) ln(x + y x2 ); (5) x 2y 3/2 ; (6) e xy+yz+zx; (7) arctan y x ; (8) x y ; (9) ln(x1 + x2 + · · · + xn). 4. 求下列函数的一阶和二阶偏导数: (1) x 2y 3 ; (2) ln(xy); (3) arcsin(x 2 1 + · · · + x 2 n); (4) e x y ; (5) tan(arctan x + arctan y); (6) e x 2+xyz . 5. 设多元函数 f 的偏导数都存在且有界, 证明 f 连续. 6. 设 D 为 R n 中区域. 如果多元函数 f 在 D 中的各个偏导数都恒等于零, 证明 f 为常值函数. 7. 设 f : R n → R 为多元函数. 如果对任意 t ≥ 0 均有 f(tx) = t mf(x), 则称 f 为 m 次齐次函数. 证明: 可微函数 f 为 m 次齐次函数当且仅当 ∑n i=1 xifxi (x) = mf(x). 8. 设 u = e x cos y, v = e x sin y, 证明 ux = vy, uy = −vx. 9. 记 ∆ = ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 , 称为平面 R 2 上的 Laplace 算子, 证明上题中的 u, v 满足方 程 ∆u = uxx + uyy = 0, ∆v = vxx + vyy = 0
912.2切线和切面710.记=[(-o)+(y-yo)+(z-zo)],证明△-1=0,其中,为R3中的Laplace算子，Au=uar+uyy+ua11.(*)设f(r,y)分别关于变量z,y为连续函数，证明，如果关于其中一个变量是单调函数（比如偏导数存在且非负），则于为二元连续函数12.（*）证明，在定理12.1.6中，只要两个混合导数fry和fyz之一在（ro,Jo）处连续，结论同样成立.812.2切线和切面设α：[a,]→Rn为连续映射，我们称为R"中的连续参数曲线.记o(t)= (ri(t),:,Tn(t),tE[α,P]t称为参数。如果a;(t)(1<i≤n)在t=to处均可导，则称在to处可导，记9（0=da(to) ==((to),.,(to)dtIt=t称to）为在to处的切向量a(t)(to)o(t)(to)图12.1切线设a(to)0.当tto时，记e(t) =o(to)+(t=to)(t) -o(to)teERtl-to
§12.2 切线和切面 7 10. 记 r = [(x − x0) 2 + (y − y0) 2 + (z − z0) 2 ] 1 2 , 证明 ∆r −1 = 0, 其中, ∆ 为 R 3 中的 Laplace 算子, ∆u = uxx + uyy + uzz. 11. (∗) 设 f(x, y) 分别关于变量 x, y 为连续函数, 证明, 如果 f 关于其中一个变量 是单调函数 (比如偏导数存在且非负), 则 f 为二元连续函数. 12. (∗) 证明, 在定理 12.1.6 中, 只要两个混合导数 fxy 和 fyx 之一在 (x0, y0) 处连 续, 结论同样成立. §12.2 切线和切面 设 σ : [α, β] → R n 为连续映射, 我们称 σ 为 R n 中的连续参数曲线. 记 σ(t) = (x1(t), · · · , xn(t)), t ∈ [α, β]. t 称为参数. 如果 xi(t) (1 ≤ i ≤ n) 在 t = t0 处均可导, 则称 σ 在 t0 处可导, 记 σ 0 (t0) = dσ dt (t0) = dσ dt t=t0 = (x 0 1 (t0), · · · , x0 n(t0)), 称 σ 0 (t0) 为 σ 在 t0 处的切向量. σ(t0) σ(t) 0 z σ σ(t0) (t) 图 12.1 切线 设 σ 0 (t0) 6= 0. 当 t 0 6= t0 时, 记 γt 0 (t) = σ(t0) + (t − t0) σ(t 0 ) − σ(t0) t 0 − t0 , t ∈ R
第十二章多元函数的微分t是经过α(t"),o(to)的直线（称为α的割线).当t→to时，割线的极限记为to则有to(t) =o(to) + (t-to)a'(to)t。称为α在to处的切线.在不引起混淆时，也说t。是α(to)处的切线切线可视为参数曲线的线性化，它也有相应的物理解释：设质点在空间中运动，其位置随时间t变化，运动轨迹为曲线a.α(to）表示质点在to时刻的速度.在to附近的非常短的时间段内，可以近似地认为质点做速直线运动，运动轨迹为切线设,均为参数曲线.如果α(to)=(to),且在to附近成立o(t) -(t) =o(it-tol), (t→ to)则称和在to处相切.容易看出，和其切线to在to处相切切线方程也可写为非参数的形式：1-1(to)-±2-±2(to)....En-In(to)Ti(to)r2(to)rn(to)其中我们规定，当上式中某个分母为零时分子也为零.经过α（to）且与切线正交的超平面称为法面（n=2时称为法线），其方程为(r-o(to)) -a'(to) = 0例12.2.1.设f为一元可微函数，令(t, f(t)o(t) = (t, f(t),则(to)=(1,f"(to)),α在to处切线方程为tto-to=y-f(to)1f'(to)图12.2函数图像的切线口即y=f(to)+f(to)(一to)，这也就是一元函数图像的切线例12.2.2.设a>0，求螺旋线a(t)=(acost，asint，t)的切线和法面方程.解.在t=to处，α'(to）=（-asinto：acosto.1).故切线方程为f-acosto_y-asinto_z-to1-asintoacosto口法面方程化简后为-rasinto+yacosto+z-to=0.设D为R2中开集，：D→R3为连续映射.我们称为R3中的连续参数曲面.记P(u,v) = (r(u,v),y(u,v),z(u,v)), (u,v)eD
8 第十二章 多元函数的微分 γt 0 是经过 σ(t 0 ), σ(t0) 的直线 (称为 σ 的割线). 当 t 0 → t0 时, 割线的极限记为 γt0 , 则有 γt0 (t) = σ(t0) + (t − t0)σ 0 (t0). γt0 称为 σ 在 t0 处的切线. 在不引起混淆时, 也说 γt0 是 σ(t0) 处的切线. 切线可视为参数曲线的线性化, 它也有相应的物理解释: 设质点在空间中运动, 其位置随时间 t 变化, 运动轨迹为曲线 σ. σ 0 (t0) 表示质点在 t0 时刻的速度. 在 t0 附近的非常短的时间段内, 可以近似地认为质点做匀速直线运动, 运动轨迹为切线. 设 σ, σ˜ 均为参数曲线. 如果 σ(t0) = ˜σ(t0), 且在 t0 附近成立 σ(t) − σ˜(t) = o(|t − t0|), (t → t0) 则称 σ 和 σ˜ 在 t0 处相切. 容易看出, σ 和其切线 γt0 在 t0 处相切. 切线方程也可写为非参数的形式: x1 − x1(t0) x 0 1 (t0) = x2 − x2(t0) x 0 2 (t0) = · · · = xn − xn(t0) x 0 n (t0) , 其中我们规定, 当上式中某个分母为零时分子也为零. 经过 σ(t0) 且与切线正交的 超平面称为法面(n = 2 时称为法线), 其方程为 ( x − σ(t0) ) · σ 0 (t0) = 0. 0 t t0 (t, f(t)) 图 12.2 函数图像的切线 例 12.2.1. 设 f 为一元可微函数, 令 σ(t) = (t, f(t)), 则 σ 0 (t0) = (1, f0 (t0)), σ 在 t0 处切线方程为 x − t0 1 = y − f(t0) f 0(t0) , 即 y = f(t0) + f 0 (t0)(x − t0), 这也就是一元函数图像的切线. 例 12.2.2. 设 a > 0, 求螺旋线 σ(t) = (a cost, a sin t, t) 的切线和法面方程. 解. 在 t = t0 处, σ 0 (t0) = (−a sin t0, a cost0, 1), 故切线方程为 x − a cost0 −a sin t0 = y − a sin t0 a cost0 = z − t0 1 , 法面方程化简后为 −xa sin t0 + ya cost0 + z − t0 = 0. 设 D 为 R 2 中开集, ϕ : D → R 3 为连续映射. 我们称 ϕ 为 R 3 中的连续参数 曲面. 记 ϕ(u, v) = ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) ) , (u, v) ∈ D.
9912.2切线和切面假定的三个分量都在（uo.Uo）处可微，则在（uoUo）附近，成立p(u, ) = (uo, Vo) + (u-uo)pu(uo, Vo) + (u-o)p(uo, Vo) + o(ll(u- uo, U - o)ll),其中 u=(u,Yu,zu),Pu=(u,Yu,z)。Pu(uo,o)是曲线 p(u,vo)(u-曲线)在u=uo处的切向量，u(uo,vo）是曲线(uo,）（u-曲线）在=vo处的切向量.记((u, v)=(uo, vo) + (u-uo)pu(uo, vo) + (-vo)p(uo, vo), (u, v) E R2当(uo,vo）与(uo,o)线性无关时，的像是经过(uo,vo）的平面，称为在(uo,uo）处的切面.切面中的向量称为切向量.切面也有相应的物理解释.例如，地球表面可近2似地认为是球面，进一步，当人们在小范围活动时可以假定地面是平的。这实际上是用切面代替了原来的球面.记=u（uo,o）×(uoo)利用3中叉乘运算的性质可知N与切面正交，为法向量。元：N/NI为单位法向量.切面方程可以写成非参数形式图12.3切向量与法向量(r,y,z) -(uo, o)) -N = 0或改写为-r(uo, vo) y -y(uo, vo) z-z(uo, vo)= 0.Tu(uo,vo)zu(uo,vo)Yu(uo,vo)Tr(uo,vo)Yo(uo, vo)zu(uo,vo)例 12.2.3. 求球面 S=[(±,9,2)ER3|z2++221)的切面解.球面可写成参数曲面=sincos,y=sinsin,2rosh图12.4球面的切面其中0≤元,0≤2元.其法向量为N= (cos cos ,cossin ,sin0) (sin sin ,sin cos p)= sino.(r,y,z),亢=（,y,2）为单位法向量.因此球面在（zo,yo,zo）处切面方程为(-ro)zo + (y-yo)yo +(z-zo)zo =0
§12.2 切线和切面 9 假定 ϕ 的三个分量都在 (u0, v0) 处可微, 则在 (u0, v0) 附近, 成立 ϕ(u, v) = ϕ(u0, v0) + (u − u0)ϕu(u0, v0) + (v − v0)ϕv(u0, v0) + o ( k(u − u0, v − v0)k ) , 其中 ϕu = ( xu, yu, zu ) , ϕv = ( xv, yv, zv ) . ϕu(u0, v0) 是曲线 ϕ(u, v0) (u− 曲线) 在 u = u0 处的切向量, ϕu(u0, v0) 是曲线 ϕ(u0, v) (v− 曲线) 在 v = v0 处的切向量. 记 ϕ∗(u, v) = ϕ(u0, v0) + (u − u0)ϕu(u0, v0) + (v − v0)ϕv(u0, v0), (u, v) ∈ R 2 . 当 ϕu(u0, v0) 与 ϕv(u0, v0) 线性无关时, ϕ∗ 的像是经过 ϕ(u0, v0) 的平面, 称为 ϕ 在 (u0, v0) 处的切面. 切面中的向量称为切向量. rv ru ~n 图 12.3 切向量与法向量 切面也有相应的物理解释. 例如, 地球表面可近 似地认为是球面. 进一步, 当人们在小范围活动时, 可以假定地面是平的. 这实际上是用切面代替了原 来的球面. 记 N~ = ϕu(u0, v0) × ϕv(u0, v0). 利用 R 3 中叉 乘运算的性质可知 N~ 与切面正交, 为法向量. ~n = N / ~ kN~ k 为单位法向量. 切面方程可以写成非参数形 式 ( (x, y, z) − ϕ(u0, v0) ) · N~ = 0, 或改写为 x − x(u0, v0) y − y(u0, v0) z − z(u0, v0) xu(u0, v0) yu(u0, v0) zu(u0, v0) xv(u0, v0) yv(u0, v0) zv(u0, v0) = 0. ~n 图 12.4 球面的切面 例 12.2.3. 求球面 S 2 = {(x, y, z) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 = 1} 的切面. 解. 球面可写成参数曲面 x = sin θ cos ϕ, y = sin θ sin ϕ, z = cos θ, 其中 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. 其法向量为 N~ = (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, − sin θ) × (− sin θ sin ϕ,sin θ cos ϕ, 0) = sin θ · (x, y, z), ~n = (x, y, z) 为单位法向量. 因此球面在 (x0, y0, z0) 处切面方程为 (x − x0)x0 + (y − y0)y0 + (z − z0)z0 = 0
10第十二章多元函数的微分更一般地，设D为Rm中的开集，：D→R"（m<n）为连续映射我们称为Rn中的连续参数曲面记p(u) = (ri(u1,,um),,n(u,"..,um),u=(u1,..,um)eD假定的每一个分量都在uo处可微，则在uo附近成立(u) = p(uo)+(u -)pu(u) + o(llu - ),=其中Pu=(),i=1,m.记P+(u)=p(u)+(ui-u)pu(u), ERmi=1当(pu（u)m线性无关时，的像是经过(u）的m维子空间，称为在o处的切空间．切空间中的向量称为切向量。切空间的正交补称为法空间，法空间中的向量称为法向量当m=n-1时，称为Rn中的参数超曲面.利用Rn中的叉乘运算（见本章最后一节补充材料)，记N= Pu, X..XPun-1,则N为法向量.此时切空间方程的非参数形式可写为（－(u))·N=0.为了写出N的分量，我们来引进一个方便的记号设{f)-1是依赖于变量[u-的函数，记o(fi,.., fm)(ofi=det(12.5)(au)O(ui,...,um)利用此记号和叉乘运算的性质可以将N写为（Ni.，Nn)，其中N, = (1)-1(+ i- ++ ),O(ui,... , un-1)最后，切空间的方程可写为T-i(uo) ..In-In(uo)(u0).un(u0)= 0.:...:().r-(u0)习题12.21.求下列曲线在指定点的切线和法面方程：(1) o(t) = (acostsint,bsin? t,ccost), t=,(2) a(t) = (t,t2,t3), t= to,(3) o(t) = (acost,asint), t =to
10 第十二章 多元函数的微分 更一般地, 设 D 为 R m 中的开集, ϕ : D → R n (m < n) 为连续映射. 我们称 ϕ 为 R n 中的连续参数曲面. 记 ϕ(u) = ( x1(u1, · · · , um), · · · , xn(u1, · · · , um) ) , u = (u1, · · · , um) ∈ D. 假定 ϕ 的每一个分量都在 u 0 处可微, 则在 u 0 附近成立 ϕ(u) = ϕ(u 0 ) +∑m i=1 (ui − u 0 i )ϕui (u 0 ) + o ( ku − u 0 k ) , 其中 ϕui = ( ∂x1 ∂ui , · · · , ∂xn ∂ui ) , i = 1, · · · , m. 记 ϕ∗(u) = ϕ(u 0 ) +∑m i=1 (ui − u 0 i )ϕui (u 0 ), u ∈ R m. 当 {ϕui (u 0 )} m i=1 线性无关时, ϕ∗ 的像是经过 ϕ(u 0 ) 的 m 维子空间, 称为 ϕ 在 u 0 处的切空间. 切空间中的向量称为切向量. 切空间的正交补称为法空间, 法空间中 的向量称为法向量. 当 m = n − 1 时, ϕ 称为 R n 中的参数超曲面. 利用 R n 中的叉乘运算 (见本章 最后一节补充材料), 记 N~ = ϕu1 × · · · × ϕun−1 , 则 N~ 为法向量. 此时切空间方程的非参数形式可写为 ( x − ϕ(u 0 ) ) · N~ = 0. 为了写出 N~ 的分量, 我们来引进一个方便的记号. 设 {fi} m i=1 是依赖于变量 {uj} m j=1 的函数, 记 ∂(f1, · · · , fm) ∂(u1, · · · , um) = det ( ∂fi ∂uj ) m×m . (12.5) 利用此记号和叉乘运算的性质可以将 N~ 写为 (N1, · · · , Nn), 其中 Ni = (−1)i−1 ∂(x1, · · · , xi−1, xi+1 · · · , xn) ∂(u1, · · · , un−1) . 最后, 切空间的方程可写为 x1 − x1(u 0 ) · · · xn − xn(u 0 ) ∂x1 ∂u1 (u 0 ) · · · ∂xn ∂u1 (u 0 ) . . . . . . . . . ∂x1 ∂un−1 (u 0 ) · · · ∂xn ∂un−1 (u 0 ) = 0. 习题 12.2 1. 求下列曲线在指定点的切线和法面方程: (1) σ(t) = (a costsin t, b sin2 t, c cost), t = π 4 , (2) σ(t) = (t, t2 , t3 ), t = t0, (3) σ(t) = (a cost, a sin t), t = t0