292.2RN的拓扑例2.26.记C([a,b]为[a,b]上连续实函数全体构成的集合，则card C([a, b]) = c.C([a,b)中包含常值函数，故card C([a,bl)≥c。另一方面，任给Φ EC([a,b]),定义f : C([a,b])→ 2Q×Q,f(0) = ((s,t)eQ×Q: sE[a,b],t≤d(s))f为一单射。事实上若2，但f(1)=f(02)，注意到存在使得(ao）≤2(ro)，则存在>0使得任给sIs=[o,ro+]，1(s)<2(s)，这与 f(Φ1)=f(Φ2)矛盾。从而 card C([a,b)≤2Q°=c。例2.27.设E=AUB，cardE=C,则cardA=c或cardB=co不妨设E=(0,1)×(0,1)，令E=[(ro,y):0<y<1)，其中roE(0,1)。若AEo，则cardA=c,否则任给E(0,1),Bn((r,y):0<y<1)+0,川则cardB=Co例2.28.记9为[a,b]上所有实函数的全体，则card9>co首先card≥c。假设cardg=，g～[0,1]。中的元可以表示成函数族(ft)，ft()=F(t,)，tE[0,1]。设g(r)=F(r,a)+1,则gE,从而存在αE[0,1]，使得g(r) = fα(r).川因此F(r,r)+1=F(α,r),[0,1]。取r=Q，矛盾。2.2Rn的拓扑2.2.1Euclid空间Rn上的自然拓扑Rn=[(r1,...,an)aiER，i=l,...,n)为一n维实线性空间，赋予内积《,)。对r=(ti,...,an)，y=(y1,.,yn),(g ) =0.i=1(Rn,,))称作Euclid空间。a=V《r,a)定义了R"上的模。d(,y)=[yl定义了Rn上的度量（或距离）。内积与模有下面的Schwartz不等式：Ka,y)/≤[zl·ll,a,yeR
2.2 R N 的拓扑 29 例 2.26. 记 C([a, b]) 为 [a, b] 上连续实函数全体构成的集合，则 card C([a, b]) = c. C([a, b]) 中包含常值函数，故 card C([a, b]) ⩾ c。另一方面，任给 ϕ ∈ C([a, b])，定义 f : C([a, b]) → 2 Q×Q， f(ϕ) = {(s, t) ∈ Q × Q : s ∈ [a, b], t ⩽ ϕ(s)}. f 为一单射。 事实上若 ϕ1 ̸= ϕ2，但 f(ϕ1) = f(ϕ2)，注意到存在 x0 使得 ϕ1(x0) ⩽ ϕ2(x0)，则存在 δ > 0 使得任给 s ∈ Iδ = [x0 − δ, x0 + δ]，ϕ1(s) < ϕ2(s)，这 与 f(ϕ1) = f(ϕ2) 矛盾。从而 card C([a, b]) ⩽ 2 Q 2 = c。 \\\\ 例 2.27. 设 E = A ∪ B，card E = c，则 card A = c 或 card B = c。 不妨设 E = (0, 1) × (0, 1)，令 E0 = {(x0, y) : 0 < y < 1}，其中 x0 ∈ (0, 1)。若 A ⊃ E0，则 card A = c，否则任给 x ∈ (0, 1), B ∩ {(x, y) : 0 < y < 1} ̸= ∅, 则 card B = c。 \\\\ 例 2.28. 记 F 为 [a, b] 上所有实函数的全体，则 card F > c。 首先 card F ⩾ c。假设 card F = c，F ∼ [0, 1]。F 中的元可以表示成 函数族 {ft}，ft(·) = F(t, ·)，t ∈ [0, 1]。设 g(x) = F(x, x) + 1，则 g ∈ F， 从而存在 α ∈ [0, 1]，使得 g(x) = fα(x). 因此 F(x, x) + 1 = F(α, x)，x ∈ [0, 1]。取 x = α，矛盾。 \\\\ 2.2 R n 的拓扑 2.2.1 Euclid 空间 R n 上的自然拓扑 R n = {(x1, . . . , xn) : xi ∈ R, i = 1, . . . , n} 为一 n 维实线性空间，赋予 内积 ⟨·, ·⟩。对 x = (x1, . . . , xn)，y = (y1, . . . , yn)， ⟨x, y⟩ = ∑n i=1 xiyi . (R n ,⟨·, ·⟩) 称作 Euclid 空间。|x| = √ ⟨x, x⟩ 定义了 R n 上的模。d(x, y) = |x−y| 定义了 R n 上的度量（或距离）。内积与模有下面的 Schwartz 不等式： |⟨x, y⟩| ⩽ |x| · |y|, x, y ∈ R n
30第二章准备工作一个集合X上的所谓“拓扑”，是指X上的“开集”的全体。对Euclid空间R”，我们首先采用下面比较直观的办法来定义“开集”的概念。定义2.29(开集和闭集).设>0，B(,8)=(y：-y<8)称作以为中心，为半径的开球，或者的8-邻域（开邻域）。类似，B(r,)=(y：-)称作以为中心，为半径的闭球。ECRn称作开集若任给EE存在>0，使得B(r,)CE。开集的补集称作闭集。在没有特别申明的情况下，我们在Euclid空间Rn均采用这种拓扑。定义2.29定义的拓扑称作R"上的自然拓扑。我们回忆一下在Euclid空间Rn上极限的概念。定义2.30.【为Rn中序列，ERk，limk-→=若lim k-= 0.所谓ε-N语言的表述是：Ve>NN,若>N,EB,)(2.6)定义2.31.设ECR"。ER"称作E的极限点若存在CE，互异，lim→k=。集合E极限点的极限点的全体称作E的导集，记作E。TEE\E称作孤立点。从定义我们很容易看出EE台VS>0, (B(r,)I()nE,(2.7)rEE\E台3S>0, (B(,)\())nE=0.例2.32.若Ei,E2CR"，则（EiUE2)=EUE。事实上，一方面由于Ei,E2CEiUE2，故EuEC(EUE2)。另一方面，若E(EUE2),存在EUE中互异的点列[)，k→，则必有子列（)CE或E2，且→，aeE或E2，这表明（EUE2)cEuE。I川I定理2.33(Bolzano-Weierstrass定理)R"中的有界无穷集E必有极限点。作为度量空间，我们还需要一些非拓扑的概念。定义2.34(有界集).设ECR"，diamE=sup(-y:,yE)称作E的直径。若diamE<o，E称作有界集。定义2.35.（rn)为R"中序列，{rn)称作Cauchy序列或基本列若任给e>0,存在NeN，当k,l>N时，[k-il<e。Rn中的Cauchy列一定收敛于某rER"。这个性质称作Rn（赋予Euclid度量）的完备性
30 第二章 准备工作 一个集合 X 上的所谓“拓扑”，是指 X 上的“开集”的全体。对 Euclid 空间 R n，我们首先采用下面比较直观的办法来定义“开集”的概念。 定义 2.29 (开集和闭集). 设 δ > 0，B(x, δ) = {y : |x − y| < δ} 称作以 x 为 中心，δ 为半径的开球，或者 x 的 δ-邻域（开邻域）。类似，B¯(x, δ) = {y : |x − y| ⩽ δ} 称作以 x 为中心，δ 为半径的闭球。 E ⊂ R n 称作开集若任给 x ∈ E 存在 δ > 0，使得 B(x, δ) ⊂ E。开集的 补集称作闭集。 在没有特别申明的情况下，我们在 Euclid 空间 R n 均采用这种拓扑。定 义2.29定义的拓扑称作 R n 上的自然拓扑。 我们回忆一下在 Euclid 空间 R n 上极限的概念。 定义 2.30. {xk} 为 R n 中序列，x ∈ R k，limk→∞ xk = x 若 lim n→∞ |xk − x| = 0. 所谓 ε − N 语言的表述是： ∀ε > 0, ∃N ∈ N, 若 k > N, xk ∈ B(x, ε). (2.6) 定义 2.31. 设 E ⊂ R n。x ∈ R n 称作 E 的极限点若存在 xk ⊂ E，xk 互异， lim→∞ xk = x。集合 E 极限点的极限点的全体称作 E 的导集，记作 E′。 x ∈ E \ E′ 称作孤立点。 从定义我们很容易看出 x ∈ E ′ ⇔ ∀δ > 0, (B(x, δ) \ {x}) ∩ E ̸= ∅, x ∈ E \ E ′ ⇔ ∃δ > 0, (B(x, δ) \ {x}) ∩ E = ∅. (2.7) 例 2.32. 若 E1, E2 ⊂ R n，则 (E1 ∪ E2) ′ = E′ 1 ∪ E′ 2。事实上，一方面由于 E1, E2 ⊂ E1 ∪ E2，故 E′ 1 ∪ E′ 2 ⊂ (E1 ∪ E2) ′。另一方面，若 x ∈ (E1 ∪ E2) ′， 存在 E1 ∪ E2 中互异的点列 {xk}，xk → x，则必有子列 {xki } ⊂ E1 或 E2， 且 xki → x，x ∈ E1 或 E2，这表明 (E1 ∪ E2) ′ ⊂ E′ 1 ∪ E′ 2。 \\\\ 定理 2.33 (Bolzano-Weierstrass 定理). R n 中的有界无穷集 E 必有极限点。 作为度量空间，我们还需要一些非拓扑的概念。 定义 2.34 (有界集). 设 E ⊂ R n， diam E = sup{|x − y| : x, y ∈ E} 称作 E 的直径。若 diam E < ∞，E 称作有界集。 定义 2.35. {xn} 为 R n 中序列，{xn} 称作 Cauchy 序列或基本列若任给 ε > 0， 存在 N ∈ N，当 k, l > N 时，|xk − xl | < ε。R n 中的 Cauchy 列一定收敛于 某 x ∈ R n。这个性质称作 R n（赋予 Euclid 度量）的完备性
2.2RN的拓扑312.2.2更多的拓扑学不难验证，若设T为X=R"中所有开子集构成的集合族，则满足O1) 0,XET;02)若U,ET,i=1,...,n,则n-,U,ET;O3若[U)EA为中任意子集族；则UeUET。在拓扑学中，我们通常将上述三条性质作为拓扑的定义。显而易见，对应的X的全体闭集构成的集合族9满足C1) 0,X EF;C2)若FE?，i=1,...,n，则U=FE;C3）若（FeA为g中任意子集族；则nAeAFE。注2.36.上面的O1)-03)与C1)-C3)通常分别称作开集公理和闭集公理。一个抽象的集合X，以及它的一个子集族T。T称作X上的一个拓扑若满足O1)-O3)。(X,T)构成一拓扑空间。若(X,T)为一拓扑空间，SCX，则Ts=(UnS：UET)称作S的子空间拓扑。在一个集合X中可以赋予不同的拓扑。比如在泛函分析中，我们经常会遇到一个函数空间可以有多个（有意义的）拓扑。不同的拓扑决定了不同的极限或者说收敛的模式。下面的内容对我们理解Euclid空间上的拓扑有很大的帮助。我们用较为简洁的模式介绍一下其中一些必要的拓扑学知识。若X为集合，S为其子集族，T为X上的一个拓扑。S称作拓扑空间(X,)的拓扑基若任给UET，存在(V)aeA1，且U=UeAVA，即中元可由S中元之并生成。拓扑基是一个全局概念。若拓扑空间（X，T）具有可数的拓扑基，则X称作第二可数的。R"上的自然拓扑是第二可数的。思考题:记Fi=(B(r,r)：zeR",r>0),F2=B(a,r):aeQ",rQn(0,+oo)),F3=(n=(ai,b)ai<b,a,b,EQ,i=l....,n。证明Fi，F2和F3均为R"的自然拓扑的拓扑基，从而（R"，T）是第二可数的。:·同样的道理，我们也可以用局部的观点来看这个问题。设（X，）为一拓扑空间，我们称V为EX的一个邻域若存在UET，EU，使得UV。若所有的邻域均可由某含的子集族N生成，则称N为的关于的一个邻域基。这是拓扑的一个局部概念。（X,T）的每一点均有可数的邻
2.2 R N 的拓扑 31 2.2.2 更多的拓扑学 不难验证，若设 τ 为 X = R n 中所有开子集构成的集合族，则 τ 满足 O1) ∅, X ∈ τ； O2) 若 Ui ∈ τ，i = 1, . . . , n，则 ∩ n i=1Ui ∈ τ； O3) 若 {Uλ}λ∈Λ 为 τ 中任意子集族；则 ∪λ∈ΛUλ ∈ τ。 在拓扑学中，我们通常将上述三条性质作为拓扑的定义。显而易见，对 应的 X 的全体闭集构成的集合族 F 满足 C1) ∅, X ∈ F； C2) 若 Fi ∈ F，i = 1, . . . , n，则 ∪ n i=1Fi ∈ F； C3) 若 {Fλ}λ∈Λ 为 F 中任意子集族；则 ∩λ∈ΛFλ ∈ F。 注 2.36. 上面的 O1)-O3) 与 C1)-C3) 通常分别称作开集公理和闭集公理。一 个抽象的集合 X，以及它的一个子集族 τ。τ 称作 X 上的一个拓扑若 τ 满 足 O1)-O3)。(X, τ ) 构成一拓扑空间。若 (X, τ ) 为一拓扑空间，S ⊂ X，则 τS = {U ∩ S : U ∈ τ} 称作 S 的子空间拓扑。 在一个集合 X 中可以赋予不同的拓扑。比如在泛函分析中，我们经常 会遇到一个函数空间可以有多个（有意义的）拓扑。不同的拓扑决定了不同 的极限或者说收敛的模式。 下面的内容对我们理解 Euclid 空间上的拓扑有很大的帮助。我们用较 为简洁的模式介绍一下其中一些必要的拓扑学知识。 若 X 为集合，S 为其子集族，τ 为 X 上的一个拓扑。S 称作拓扑空间 (X, τ ) 的拓扑基若任给 U ∈ τ，存在 {Vλ}λ∈Λ1，且 U = ∪λ∈Λ1 Vλ，即 τ 中元 可由 S 中元之并生成。拓扑基是一个全局概念。若拓扑空间 (X, τ ) 具有可 数的拓扑基，则 X 称作第二可数的。R n 上的自然拓扑是第二可数的。 思考题：记 F1 = {B(x, r) : x ∈ R n , r > 0}，F2 = {B(x, r) : x ∈ Qn , r ∈ Q ∩ (0, +∞)}，F3 = { ∏n i=1(ai , bi) : ai < bi , ai , bi ∈ Q, i = 1, . . . , n}。证明 F1，F2 和 F3 均为 R n 的自然拓扑 τ 的拓扑基，从而 (R n , τ ) 是第二可数的。 • • 同样的道理，我们也可以用局部的观点来看这个问题。设 (X, τ ) 为一拓扑 空间，我们称 V 为 x ∈ X 的一个邻域若存在 U ∈ τ，x ∈ U，使得 U ⊂ V 。 若所有 x 的邻域均可由某含 x 的子集族 N 生成，则称 N 为 τ 的关于 x 的一个邻域基。这是拓扑的一个局部概念。(X, τ ) 的每一点均有可数的邻
32第二章准备工作域基这一性质称作第一可数性质。Rn上的Euclid拓扑，乃至一般的度量空间均为第一可数的。任给拓扑空间X，SCX。包含S的最小闭集称作S的闭包，记作S或clS。类似，含于s的最大开集称作S的内部，记作S或intS。S为一闭集，S为一开集。仅以R"上的Euclid拓扑为例。设SCR"，S=(rES：存在>0使得B(r,)S)=(αR":任给>0,B(r,0)nS0)因此=SS。aS=S称作S（拓扑意义下）的边界。不难看出，S为开集当且仅当S=S，S为闭集当且仅当S=S。·更一般，若SiCS，S为闭集。若i=S，我们称Si在S中稠密。（注意，即便S不为闭集，若Si=S2，我们也可以称Si在S中稠密。）那么，Si在S中稠密有如下刻画：任给ES和s>0，B(r,)nSi+。若X存在可数的稠密子集，则称X为可分的。例2.37.R1上的非空开集必可表示成可数个两两互不相交的开区间之并。证明：设GCRI为一开集，EG，则存在y<<使得开区间(y,r),(r,z)CG。设a = inf(y : (y,r) c G), b = sup(r: (r,z) cG)显然a<b且a,b可以分别为-oo.+oo，但若G≠R1，则不可能同时有a=-00,b=+o0。设I()=(a,b)，则I(）为包含的开区间，I(r)cG并且bG。事实上，若beG，则存在r>o使得(b-rb+r)cG，这与b的定义矛盾。类似地aG。容易验证：若r,yG，≠y，则I(a)=I(y)或I()nI(y)=の。考虑((a))aEG，显然G为I(r)两两互不相交之并。由例2.16(2)，其至多可数。I例2.38.考虑广义实数集[-80，+α]为实数集添上±α两个元素。[-80,+o0]继承了R上的序关系，为一全序集。此时对任意-8≤α<b≤+80，我们可以定义如下四类区间[a,b]，(a,b)，(a,b]和[a,b)。我们引入+和-0的开邻域为(a,+o]和[-ooa)，aER。这些集合与R中的开集的全体一起构成一个[一80,+o0]上的一个拓扑。因此形如(a,b)，(a,+o0]和[一0,b)的集合均为-80，十]上的开集，我们均称为开区间。事实上，关于这个拓扑[-80，+o]为一紧集，为R的一个紧化。由例2.37，[-80，+o]上的开集的结构为：[一α0，十]上的任一开集为至多可数个两两不交的开区间的并。II
32 第二章 准备工作 域基这一性质称作第一可数性质。R n 上的 Euclid 拓扑，乃至一般的度量 空间均为第一可数的。 • 任给拓扑空间 X，S ⊂ X。包含 S 的最小闭集称作 S 的闭包，记作 S 或 cl S。类似，含于 S 的最大开集称作 S 的内部，记作 ◦ S 或 int S。S 为一闭 集， ◦ S 为一开集。仅以 R n 上的 Euclid 拓扑为例。设 S ⊂ R n， ◦ S = {x ∈ S : 存在δ > 0使得B(x, δ) ⊂ S}, S = {x ∈ R n : 任给δ > 0, B(x, δ) ∩ S ̸= ∅}. 因此 S = S ∪ S ′。∂S = S \ ◦ S 称作 S（拓扑意义下）的边界。不难看出， S 为开集当且仅当 S = ◦ S，S 为闭集当且仅当 S = S。 • 更一般，若 S1 ⊂ S，S 为闭集。若 S1 = S，我们称 S1 在 S 中稠密。（注 意，即便 S 不为闭集，若 S1 = S2，我们也可以称 S1 在 S 中稠密。）那么， S1 在 S 中稠密有如下刻画：任给 x ∈ S 和 δ > 0，B(x, δ) ∩ S1 ̸= ∅。若 X 存在可数的稠密子集，则称 X 为可分的。 例 2.37. R 1 上的非空开集必可表示成可数个两两互不相交的开区间之并。 证明：设 G ⊂ R 1 为一开集，x ∈ G，则存在 y < x < z 使得开区间 (y, x),(x, z) ⊂ G。设 a = inf{y : (y, x) ⊂ G}, b = sup{x : (x, z) ⊂ G}. 显然 a < b 且 a, b 可以分别为 −∞, +∞，但若 G ̸= R 1，则不可能同时有 a = −∞, b = +∞。设 I(x) = (a, b)，则 I(x) 为包含 x 的开区间，I(x) ⊂ G， 并且 b ̸∈ G。事实上，若 b ∈ G，则存在 r > 0 使得 (b − r, b + r) ⊂ G，这与 b 的定义矛盾。类似地 a ̸∈ G。 容易验证：若 x, y ∈ G，x ̸= y，则 I(x) = I(y) 或 I(x) ∩ I(y) = ∅。考 虑 {I(x)}x∈G，显然 G 为 I(x) 两两互不相交之并。由例2.16(2)，其至多可 数。 \\\\ 例 2.38. 考虑广义实数集 [−∞, +∞] 为实数集添上 ±∞ 两个元素。[−∞, +∞] 继承了 R 上的序关系，为一全序集。此时对任意 −∞ ⩽ a < b ⩽ +∞，我们 可以定义如下四类区间 [a, b]，(a, b)，(a, b] 和 [a, b)。我们引入 +∞ 和 −∞ 的开邻域为 (a, +∞] 和 [−∞, a)，a ∈ R。这些集合与 R 中的开集的全体一 起构成一个 [−∞, +∞] 上的一个拓扑。因此形如 (a, b)，(a, +∞] 和 [−∞, b) 的集合均为 [−∞, +∞] 上的开集，我们均称为开区间。事实上，关于这个拓 扑 [−∞, +∞] 为一紧集，为 R 的一个紧化。由例2.37，[−∞, +∞] 上的开集 的结构为：[−∞, +∞] 上的任一开集为至多可数个两两不交的开区间的并。 \\\\
2.2RN的拓扑33例2.39.设In=[0,1-1/n]为闭集列，而U=,In=[0,1)非闭集。类似，设Jn=(-1/n,1)为开集列，而n元=1Jn=[0,1)非开集。川I有限覆盖·紧性设（X,）为一拓扑空间，子集族U>)eA称作X的开覆盖若任给EA，UT，且UeAU=X。对于Rn中的子集E而言，若U)eA为R"中的开集族，且EcUUx,AEA则称U\)xeA为E的开覆盖。（运用子空间拓扑，这两个定义后者与前者相容。2.2.3R"上函数与连续性定义2.40.假设（X,Tx）和(Y,Ty）均为拓扑空间。映射f：X→Y称作连续的若任给UETY，f-1(U)ETx。简单地说，开集的原像是开集。映射f:X→Y称作在EX处连续若任给f()的邻域UcY，f-1(U)为r的邻域。简单地说，邻域的原像是邻域。注2.41.我们比较一下这里引入的概念与数学分析中相应概念之间的联系：1)不难看出，映射f：X→Y连续当且仅当f：X→Y在每一点EX处连续。2)若(X,dx）和(Y,dy)为度量空间，映射f：X→Y在rEX处连续当且仅当任给e>0，存在>0，使得若yEBx(r,)则f(y)EBy(f(r),e)（这种表述称作e-语言）。事实上，若e-语言成立，任给f(r）的邻域U CY,存在 By(f(a),e) CU,从而 f(Bx(r,0)) C By(f(r),e)。因此Bx(r,)Cf-1(By(f(a),e)Cf-1(U)。这说明f-1(U)为r的邻域。相反的方向是平凡的。3)若(X,d)为度量空间，f：X→R。则连续当且仅当任给a<b,f-1(a,b)是开集。事实上，任给GR为非空开集，则存在两两不交的至多可数的开区间列[(ak,bk))，使得G=Uk(ak,ba)。我们的结论由关系f-1(U(as,bk)=Uf-1((akb))得到。若f:X→[-0,+o0],上面的讨论需要包括形如[-80,a)、(a,+α]和(a,b)的区间。4）下面利用序列的刻画也是十分有用的。若（X,d)为度量空间，f：X→R。则f在EX处连续当且仅当任给a→a，f(）→f(）（h→)
2.2 R N 的拓扑 33 例 2.39. 设 In = [0, 1 − 1/n] 为闭集列，而 ∪∞ n=1In = [0, 1) 非闭集。类似，设 Jn = (−1/n, 1) 为开集列，而 ∩∞ n=1Jn = [0, 1) 非开集。 \\\\ 有限覆盖·紧性 设 (X, τ ) 为一拓扑空间，子集族 {Uλ}λ∈Λ 称作 X 的开覆盖若任给 λ ∈ Λ，Uλ ∈ τ，且 ∪λ∈ΛUλ = X。对于 R n 中的子集 E 而言，若 {Uλ}λ∈Λ 为 R n 中的开集族，且 E ⊂ ∪ λ∈Λ Uλ, 则称 {Uλ}λ∈Λ 为 E 的开覆盖。（运用子空间拓扑，这两个定义后者与前者相 容。） 2.2.3 R n 上函数与连续性 定义 2.40. 假设 (X, τX) 和 (Y, τY ) 均为拓扑空间。映射 f : X → Y 称作连 续的若任给 U ∈ τY ，f −1 (U) ∈ τX。简单地说，开集的原像是开集。映射 f : X → Y 称作在 x ∈ X 处连续若任给 f(x) 的邻域 U ⊂ Y ，f −1 (U) 为 x 的邻域。简单地说，邻域的原像是邻域。 注 2.41. 我们比较一下这里引入的概念与数学分析中相应概念之间的联系： 1) 不难看出，映射 f : X → Y 连续当且仅当 f : X → Y 在每一点 x ∈ X 处 连续。 2) 若 (X, dX) 和 (Y, dY ) 为度量空间，映射 f : X → Y 在 x ∈ X 处连续当且 仅当任给 ε > 0，存在 δ > 0，使得若 y ∈ BX(x, δ) 则 f(y) ∈ BY (f(x), ε) （这种表述称作 ε-δ 语言）。事实上，若 ε-δ 语言成立，任给 f(x) 的邻域 U ⊂ Y ，存在 BY (f(x), ε) ⊂ U，从而 f(BX(x, δ)) ⊂ BY (f(x), ε)。因此 BX(x, δ) ⊂ f −1 (BY (f(x), ε)) ⊂ f −1 (U)。这说明 f −1 (U) 为 x 的邻域。相 反的方向是平凡的。 3) 若 (X, d) 为度量空间，f : X → R。则 f 连续当且仅当任给 a < b， f −1 ((a, b)) 是开集。事实上，任给 G ⊂ R 为非空开集，则存在两两不交 的至多可数的开区间列 {(ak, bk)}，使得 G = ∪ k (ak, bk)。我们的结论由 关系 f −1 ( ∪ k (ak, bk)) = ∪ k f −1 ((ak, bk)) 得到。若 f : X → [−∞, +∞]， 上面的讨论需要包括形如 [−∞, a)、(a, +∞] 和 (a, b) 的区间。 4) 下面利用序列的刻画也是十分有用的。若 (X, d) 为度量空间，f : X → R。 则 f 在 x ∈ X 处连续当且仅当任给 xk → x，f(xk) → f(x)（k → ∞）