14 第一章集合与映射
14 第一章 集合与映射
准备工作第二章2.1集合论直观地说，我们可以将集合看成一些具有共同特性的“对象”的全体，如全体素数、直线上的点等。组成集合的对象称作元素，如一个素数、直线上一个点等。集合自身也可以看成某个集合的元素，比如一条平面上的直线可以看成平面上所有直线组成的集合的元素。此时，我们将集合的集合称作类或族。严格的集合的概念要基于一些集合论公理。除非我们必须面对，我们不去讨论这些公理。我们罗列一些基本的事实：（I）我们称集合A包含于集合B（或A为B的子集），记作ACB（或BA),若任给aEA,EB。(2）集合X的全部子集构成的类称作X的幂集，记作2X，2X上自然的有一个偏序结构，即集合的包含关系：A≤B台ACB。(3）集合A与集合B的交集记作AnB，AnB=（r：EA且rEB)；集合A与集合B的并集记作AUB，AnB=：EA或EB)。(4）按照包含关系确定的偏序，AnB=AΛBAUB=AVB，其中^和V为相应的格运算。(5）我们通常将集合族写成（Aa)aeI，其中I为指标集。（后面我们将给出相关的严格说法）2.1.1集合的运算集合的交与并下面是一些基本性质：1）交换律：AUB=BUA,AnB=BNA
第二章 准备工作 2.1 集合论 直观地说，我们可以将集合看成一些具有共同特性的“对象”的全体， 如全体素数、直线上的点等。组成集合的对象称作元素，如一个素数、直线 上一个点等。集合自身也可以看成某个集合的元素，比如一条平面上的直线 可以看成平面上所有直线组成的集合的元素。此时，我们将集合的集合称作 类或族。 严格的集合的概念要基于一些集合论公理。除非我们必须面对，我们不 去讨论这些公理。 我们罗列一些基本的事实： (1) 我们称集合 A 包含于集合 B（或 A 为 B 的子集），记作 A ⊂ B（或 B ⊃ A），若任给 x ∈ A，x ∈ B。 (2) 集合 X 的全部子集构成的类称作 X 的幂集，记作 2 X，2 X 上自然的有 一个偏序结构，即集合的包含关系：A ⩽ B ⇔ A ⊂ B。 (3) 集合 A 与集合 B 的交集记作 A ∩ B，A ∩ B = {x : x ∈ A 且 x ∈ B}；集 合 A 与集合 B 的并集记作 A ∪ B，A ∩ B = {x : x ∈ A 或 x ∈ B}。 (4) 按照包含关系确定的偏序，A ∩ B = A ∧ B，A ∪ B = A ∨ B，其中 ∧ 和 ∨ 为相应的格运算。 (5) 我们通常将集合族写成 {Aα}α∈I，其中 I 为指标集。（后面我们将给出相 关的严格说法） 2.1.1 集合的运算 集合的交与并 下面是一些基本性质： 1) 交换律： A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A
16第二章准备工作2）结合律：AU(BUC) =(AUB)UC,An(BnC)=(AnB)nc.3）结合律：An(BUC)=(AnB)U(AnC),AU(BnC) =(AUB)n(AUC)若{Aa)aeI为集合族，UA=[:对某EI,EA)aelnA=(：对任意I,A)QEI例2.1.设f为[a,可上的实函数，则[a,b] = U(r e [a,b] : If(z)/ <n],n>1(a e [a,b] : If(r)/ > 0] = U(E[a,b] : If(r)] >n>1集合的差与补定义2.2.设A.B为集合，定义A关于B的差集，记作AB，为A\B=(r:EA且B)若A为X的子集，此时定义A（关于X）的补集，记作Ac，为AS-(rEX:RA)-XIA.集合A与B的对称差，记作A△B，为A△B= (A\B)U(B\A)假设A,BX，我们有以下基本性质：1)AUA=X,AnA=0,(A)=A, X=0, 0=X;2)AIB=ANB;3)ADB=ACB,ANB=@=ACB且BCA
16 第二章 准备工作 2) 结合律： A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. 3) 结合律： A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 若 {Aα}α∈I 为集合族， ∪ α∈I Aα = {x : 对某 α ∈ I, x ∈ Aα}, ∩ α∈I Aα = {x : 对任意 α ∈ I, x ∈ Aα}. 例 2.1. 设 f 为 [a, b] 上的实函数，则 [a, b] = ∪ n⩾1 {x ∈ [a, b] : |f(x)| < n}, {x ∈ [a, b] : |f(x)| > 0} = ∪ n⩾1 {x ∈ [a, b] : |f(x)| > 1 n }. 集合的差与补 定义 2.2. 设 A, B 为集合，定义 A 关于 B 的差集，记作 A \ B，为 A \ B = {x : x ∈ A 且 x ̸∈ B}. 若 A 为 X 的子集，此时定义 A（关于 X）的补集，记作 Ac，为 A c = {x ∈ X : x ̸∈ A} = X \ A. 集合 A 与 B 的对称差，记作 A△B，为 A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A). 假设 A, B ⊂ X，我们有以下基本性质： 1) A ∪ Ac = X，A ∩ Ac = ∅，(Ac ) c = A，Xc = ∅，∅c = X； 2) A \ B = A ∩ Bc； 3) A ⊃ B ⇒ Ac ⊂ Bc，A ∩ B = ∅ ⇒ A ⊂ Bc 且 B ⊂ Ac
172.1集合论命题2.3.(DeMorgan法则）设【Aa)ael为集合族，则UAa) =NA(2.1)OE2n Aa =(A(2.2)思考题：证明命题2.3的DeMorgan法则。集合列的极限（集）定义2.4.设【AkeN为单调递增集合列，即A1CA2CCAkC，则称【A的极限为lim An = UAk.k≥1类似，设AheN为单调递减集合列，即AiA2·.A…，则称【A]的极限为lim Ak= Ak.1-0k>1注2.5.我们知道幂集2X上天然地有由集合包含关系c”决定的偏序关系，所谓单调递增或递减的集合列为2X中的全序子集族，此时定义的“极限”实际上分别是该子集族的上确界和下确界。事实上，对任意集合族Aa}aeI，关于上述偏序，supA. = [JAα,inf Aa = AαaElaElaelaer这个角度对于理解无论集合列、数列还是函数列的上下极限的概念的理解有一定的帮助。定义2.6.设A}keN为集合列，对任给kEN，定义Bk=UA,Ch=OA.i>ki>k显然{B}与[C]分别单调递减和单调递增，其极限均存在，定义DUAlim supAk=lim Bk=inf B=inf supA,=k→o0KENkENi>kk-→00k=1i>kUnA,lim inf A, =lim Ck= supBk= sup inf Ak=k→ok-→o0KENkENi>kk=1i>k分别为（A的上限集与下限集
2.1 集合论 17 命题 2.3. （De Morgan 法则） 设 {Aα}α∈I 为集合族，则 (∪ α∈I Aα )c = ∩ α∈I A c α , (2.1) (∩ α∈I Aα )c = ∪ α∈I A c α . (2.2) 思考题：证明命题2.3的 De Morgan 法则。 集合列的极限（集） 定义 2.4. 设 {Ak}k∈N 为单调递增集合列，即 A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ Ak ⊂ · · · ，则 称 {Ak} 的极限为 lim k→∞ Ak = ∪ k⩾1 Ak. 类似，设 {Ak}k∈N 为单调递减集合列，即 A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ⊃ Ak ⊃ · · · ，则称 {Ak} 的极限为 lim k→∞ Ak = ∩ k⩾1 Ak. 注 2.5. 我们知道幂集 2 X 上天然地有由集合包含关系 “⊂” 决定的偏序关系， 所谓单调递增或递减的集合列为 2 X 中的全序子集族，此时定义的 “极限” 实 际上分别是该子集族的上确界和下确界。事实上，对任意集合族 {Aα}α∈I， 关于上述偏序， sup α∈I Aα = ∪ α∈I Aα, inf α∈I Aα = ∩ α∈I Aα. 这个角度对于理解无论集合列、数列还是函数列的上下极限的概念的理解 有一定的帮助。 定义 2.6. 设 {Ak}k∈N 为集合列，对任给 k ∈ N，定义 Bk = ∪ i⩾k Ai , Ck = ∩ i⩾k Ai . 显然 {Bk} 与 {Ck} 分别单调递减和单调递增，其极限均存在，定义 lim sup k→∞ Ak = lim k→∞ Bk = inf k∈N Bk = inf k∈N sup i⩾k Ak = ∩∞ k=1 ∪ i⩾k Ai , lim inf k→∞ Ak = lim k→∞ Ck = sup k∈N Bk = sup k∈N inf i⩾k Ak = ∪∞ k=1 ∩ i⩾k Ai , 分别为 {Ak} 的上限集与下限集
18第二章准备工作下面的事实很好地刻画了集合列的上、下限集。定理2.7.若Ak}keN为集合列，则limsupA={r：任给keN,存在i≥k,使得rEA;(2.3)liminfAk=[r：存在koEN,使得任给i≥ko,rEA](2.4)证明：我们仅证明第一个等式，另一个等式类似。事实上，可由rElimsupk-→αAs=n-Uiz A VN, UA VN,i≥, A,得到。例2.8.设fn：R→R为实函数序列，我们来刻画一下fnl的不收敛点集D=(rER：当n→o时fn(a)f(a)为此我们定义En,k =(r: In(r)-f(n)I≥), h,neN.我们知道ED，即fn(r）f(a）等价于存在ko使得属于无穷多个En.ko，也就是说，存在ko使得Elimsupn→En.ko。这表明D = U lim sup Enk = Un U( : fi(r) - f(a)I≥),k=ln→αk=ln=li>r这个例子中，我们将函数列收敛这一分析性质用集合论的语言表达出来，而这种处理今后还要经常用到。这种处理方式的优越性，在实变函数论中将得到很好地体现。为了今后的进一步应用，读者逐步熟悉这种处理方式可能是必要的。这也是我们必须进一步探讨集合论相关问题的原因之一。集合的直积这里我们先考虑有限个集合A1，A2，..，An的直积IIA,=(r=(r1,22...,n):aiEA,1≤i<n).i=1需要指出，这里我们并没有说明所谓n元组（r1,2...,an）定义的合理性，这一点我们将在后面一并处理集合族的直积时再指出。2.1.2映射·基数映射设X,Y为非空集合，f：X→Y为一映射，也就是说对每一EX，都有Y中点f(α）与之对应
18 第二章 准备工作 下面的事实很好地刻画了集合列的上、下限集。 定理 2.7. 若 {Ak}k∈N 为集合列，则 lim sup k→∞ Ak = {x : 任给 k ∈ N, 存在 i ⩾ k, 使得 x ∈ Ai}; (2.3) lim inf k→∞ Ak = {x : 存在 k0 ∈ N, 使得任给 i ⩾ k0, x ∈ Ai}. (2.4) 证明：我们仅证明第一个等式，另一个等式类似。事实上，可由 x ∈ lim supk→∞ Ak = ∩∞ k=1 ∪ i⩾k Ai ⇔ ∀k ∈ N, x ∈ ∪ i⩾k Ai ⇔ ∀k ∈ N, ∃i ⩾ k, x ∈ Ai 得到。 □ 例 2.8. 设 fn : R → R 为实函数序列，我们来刻画一下 {fn} 的不收敛点集 D = {x ∈ R : 当 n → ∞ 时 fn(x) ̸→ f(x)}. 为此我们定义 En,k = {x : |fn(x) − f(x)| ⩾ 1 k }, k, n ∈ N. 我们知道 x ∈ D，即 fn(x) ̸→ f(x) 等价于存在 k0 使得 x 属于无穷多个 En,k0，也就是说，存在 k0 使得 x ∈ lim supn→∞ En,k0。这表明 D = ∪∞ k=1 lim sup n→∞ En,k = ∪∞ k=1 ∩∞ n=1 ∪ i⩾n {x : |fi(x) − f(x)| ⩾ 1 k }. 这个例子中，我们将函数列收敛这一分析性质用集合论的语言表达出 来，而这种处理今后还要经常用到。这种处理方式的优越性，在实变函数论 中将得到很好地体现。为了今后的进一步应用，读者逐步熟悉这种处理方式 可能是必要的。这也是我们必须进一步探讨集合论相关问题的原因之一。 集合的直积 这里我们先考虑有限个集合 A1, A2, . . . , An 的直积 ∏n i=1 Ai = {x = (x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ Ai , 1 ⩽ i ⩽ n}. 需要指出，这里我们并没有说明所谓 n 元组 (x1, x2, . . . , xn) 定义的合理性， 这一点我们将在后面一并处理集合族的直积时再指出。 2.1.2 映射·基数 映射 设 X, Y 为非空集合，f : X → Y 为一映射，也就是说对每一 x ∈ X， 都有 Y 中点 f(x) 与之对应