《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-1 向量的内积与正交向量组

线性代数 山东理工大学

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第5章相似以矩阵和二次型 ▣内容提要 §5.1向量的内积与正交向量组 §5.2方阵的特征值与特征向量 §5.3相似矩阵 §5.4实对称矩阵的相似对角形 §5.5二次型及其标准型 §5.6正定二次型

第5章 相似矩阵和二次型 ◼ 内容提要 §5.1 向量的内积与正交向量组 §5.2 方阵的特征值与特征向量 §5.3 相似矩阵 §5.4 实对称矩阵的相似对角形 §5.5 二次型及其标准型 §5.6 正定二次型

第5章相似矩阵和二次型 §5.1向量的内积与正交向量组 向量的内积、长度 Schmidt.正交化、单位化法 正交矩阵

§5.1 向量的内积与正交向量组 ● 向量的内积、长度 ● Schmidt正交化、单位化法 ● 正交矩阵 第5章 相似矩阵和二次型

1.向量的内积、长度 b 定义1：n维实向量a= 4 B= g M M 称[a,β]=ab+a,b2+L+abn a,的数量积aB队=(4，L,an) =a"B M 为向量a与阝的内积。 若x,B为行向量，则[a,B]=aB

1. 向量的内积、长度 定义1：n维实向量 1 2 n a a a      =         M 1 2 n b b b      =         M 称   1 1 2 2 , n n   = + + + a b a b a b L ( ) 1 2 1 2 , , , T n n b b a a a b       = =         L M 为向量  与  的内积。 若 , 为行向量，则  ,  T    =  , 的数量积 

向量内积的性质： (1)[a,B]=[B, 对称性 (2[a+B,y]=[a,y]+[B,y] (3)[ka,]=[a,kp]=k[a,P] 线性性 (4)[a,]≥0 正定性 等号成立当且仅当a=O 定义2：实数la=V[a,a个=va++L+a 称为向量的长度（或模， 或范数) 若=1，称a为单位向量

向量内积的性质： (2) , , ,        + = +      (3) , , , k k k        = =      线性性 (1) , ,      =   对称性 等号成立当且仅当  = O (4) , 0    正定性 定义2：实数   2 2 2 1 2 , n    = = + + + a a a L 称为向量的长度（或模，或范数） 若  = 1, 称  为单位向量