《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-3 相似矩阵

线性代数 山东理工大学

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第5章相似矩阵和二次型 §5.3相似矩阵 。相似矩阵的定义及性质 。矩阵可对角化的条件

§5.3 相似矩阵 ● 相似矩阵的定义及性质 ● 矩阵可对角化的条件 第5章 相似矩阵和二次型

1.相似矩阵的定义及性质 定义：设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P,使得 PAP=B 则称矩阵B是矩阵A的相似矩阵， 或称矩阵A与矩阵B相似， 对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换， 可逆矩阵P称为把矩阵A变成矩阵B的 相似变换矩阵

1. 相似矩阵的定义及性质 定义: 设 A B, 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵 P ，使得 1 P AP B − = 则称矩阵 B 是矩阵 A 的相似矩阵， 对 A 进行运算 P AP －1 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的 相似变换矩阵。 或称矩阵 A 与矩阵 B 相似

注： (1)矩阵相似是一种等价关系，具有自反性、 对称性和传递性。 A与A相似；A与B相似，则B与A相似； A与B相似，B与C相似，则A与C相似。 (2)A与B相似→A~B,反之不对。 A与B相似：B=P-1AP. A与B等价：B=PAQ.(P与Q均为可逆矩阵) 矩阵等价 矩阵相似

注： （1）矩阵相似是一种等价关系，具有自反性、 对称性和传递性。 A与A相似； A与B相似，则B与A相似； A与B相似， B与C相似，则A与C相似 。 （2） A B A B 与 相似  ， 反之不对。 1 A B B P AP = 与 相似： − . A B B PAQ P Q 与 等价： = ( ) . 与 均为可逆矩阵 矩阵等价 矩阵相似

相似矩阵的意义（性质） 性质1：相似矩阵有相同的特征多项式。反之不对 证明：设A,B相似，即有可逆阵P,使 P-AP=B. 于是 B-AE=P-AP-AE=P-AP-AP-EP =P-(A-RE)P=P-A-AEP=A-RE 推论1：相似矩阵有相同的特征值、相同的行列式、 相同的迹、相同的秩

性质1: 相似矩阵有相同的特征多项式。 证明： , 设A B P 相似，即有可逆阵 ,使 1 P AP B. − = 于是 B E -  1 P AP E -  − = 1 1 P AP P EP -  − − = 1 P A E P ( )  − = − 1 P A E P  − = − = − A E 推论1:相似矩阵有相同的特征值、相同的行列式、 相同的迹、相同的秩。 反之不对 相似矩阵的意义(性质)