S3、收敛定理定理2（收敛定理狄利克雷(Dirichlet)充分条件)设 f(x)是以2元为周期的周期函数.如果它满足条件：(1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点(2）在一个周期内至多只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛，并且当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x);(1)兰当x是F(x)的间断点时，收敛于/(x)+(x*)(2)72说明只要函数f(x)满足定理条件，则在C=(x (x)=(x )+f(x ),2函数f(x)可展开成傅立叶级数，即f(x)=a+E(a, cos nx+b, sin nx).0008个个个高等数学教学部不不不
高等数学教学部 6
?-元≤x<0例 1 设,f(x)是以2元为周期的周期函数，f(x)=00≤x<元将其展开为傅立叶级数2元3元×3元/2元1解所给函数满足收敛定理的条件f(x)在点x =k元(k =±1,±3,…)不连续，其傅立叶级数收敛于0-元f(x )+ f(xt)元在其余点处，其傅立叶级数收敛于f(x)222001018个不个高数学教学部不不个
高等数学教学部 7 x y o 2 2 3 3 2 ( ) ( ) f x f x , 2 2 0
Ca, -- (x)cos nxdx=-][x sin nx + -cos nx]',x cosnxdx=nn元元211n =1, 3,5,...Tn?(1-cosn元)[1-(-1)"=n元n元0n = 2,4,6,..元a,--(x)dx --xdx -2b, -- f(x)sin nxdx=-二[xcos nx - -sin nx]'x sin nxdx -n元Tn(-1)+1cosn元[-(一元)cosn元] =, n = 1,2,3,...nn元n(-1)*+1- (0)=--+21-(-1)sin nx]cosnx +n元n(-00 <x<+00; x±±元,±3元, ...)000个不高教学教学部不不不
高等数学教学部 8 an f (x)cosnxdx 1 0 cos 1 x nxdx a f (x)dx 1 0 1 0 xdx , 2 0 cos ] 1 [ sin 1 nx n x nx n , 0 2,4,6, 1, 3,5, 2 2 n n n bn f (x)sinnxdx 1 0 sin 1 x nxdx 0 sin ] 1 [ cos 1 nx n x nx n (1 cos ) 1 2 n n [1 ( 1) ] 1 2 n n [ ( )cos ] 1 n n n cosn , 1,2,3, , ( 1) 1 n n n sin ] ( 1) cos 1 ( 1) [ 4 ( ) 1 1 2 nx n nx n f x n n n ( x ; x , 3 ,)
三、正弦级数和余弦级数定理3设周期为2元的周期函数f(x)满足收敛定理的条件若f(x)是奇函数，则它的傅立叶级数为f(x)=b, sin nx，其中b, ==" f(x)sinnxdx, (n = 1,2,3,.),f(x)=b, sin nx称为正弦级数;若f(x)是偶函数，则它的傅立叶级数为,f(x)="+a,cosnx,f" f(x)cos nxdx, (n = 0,1,2,..),其中a,=f(x)="s+a,cosnx称为余弦级数.001018个不个高数学教学部不不不
高等数学教学部 9