P(n+1) (x) = 0,.:. R(n+1)(x) = f(n+1)(x)则由上式得f(n+1)(2)(x-x,)"+1R,(x)(在x,与x之间)-(n +1)!拉格朗日型的余项f(k) (xo2(x-x)hP,(x) =k!k=0称为f(x)按(x一x)的幂展开的n次泰勒多项式 f(k)(x)f(x)=2(x-x) + R,(x)k!k=0称为f(x)按(x-x)的幂展开的n次泰勒公式
( 1) 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x x x x n + + = − + 在 与 之间 ( ) 0, ( 1) = + P x n n ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + = 则由上式得 ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) n k k n k f x P x x x k f x x x n = = − − 称为 按 的幂展开的 次泰勒多项式. ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) n k k n k f x f x x x R x k f x x x n = = − + − 称为 按 的幂展开的 次泰勒公式. 拉格朗日型的余项
>注意:1.当n=0时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式f(x)=f(x)+ f'()(x-x) (在x,与x之间)2. 取x, = 0在0与x之间，=0x(0<<1)R,(x) = F(atl(0x)tn+1(n + 1)!
➢ 注意: 0 0 0 1. 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) n f x f x f x x x x = = + − 当 时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式 在 与 之间 0 ( 1) 1 2. 0 0 (0 1) ( ) ( ) ( 1)! n n n x x x f x R x x n + + = = = + 取 在 与 之间