泰勒Brook Taylor16851731英国数学家
泰 勒 Brook Taylor 1685—1731 英国数学家
18世纪早期英国生顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，1685年8月18日出生于米德尔塞克斯的埃德蒙顿的一个富裕家庭，他1705年进入剑桥大学圣约翰学院学习，1709年毕业并获法学学士学位，随后移居伦敦他在1712年年仅24岁时当选为英国皇家学会会员，1714年获法学博士学位．同年出任英国皇家学会秘书．这也是他的科研成果最多产的时期．为解决牛顿与莱布尼茨关于微积分发明权之争的问题，他被任命为仲裁委员会委员.1731年12月29日，泰勒卒于伦敦.研究泰勒的生平及工作表明，他对数学发展的贡献本质上要比一条以他命名的定理大得多.他涉及的、创造的但未能进一步发展的主要数学概念之多令人吃惊.他的工作过分简洁抽象难以追随.但家庭影响、生活的不幸健康不佳以及其他一些无法估量的因素，影响了他不太长的生命中的数学创造
18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英 国数学家泰勒,1685 年8月18日出生于米德尔塞克斯的埃 德蒙顿的一个富裕家庭. 他1705年进入剑桥大学圣约翰 学院学习,1709年毕业并获法学学士学位, 随后移居伦敦. 他在1712年年仅24岁时当选为英国皇家学会会员, 1714 年获法学博士学位. 同年出任英国皇家学会秘书. 这也 是他的科研成果最多产的时期. 为解决牛顿与莱布尼茨 关于微积分发明权之争的问题, 他被任命为仲裁委员会 委员.1731年12月29日, 泰勒卒于伦敦. 研究泰勒的生平及工作表明, 他对数学发展的贡献 本质上要比一条以他命名的定理大得多.他涉及的、创造 的但未能进一步发展的主要数学概念之多令人吃惊.他的 工作过分简洁抽象难以追随.但家庭影响、生活的不幸、 健康不佳以及其他一些无法估量的因素,影响了他不太长 的生命中的数学创造．
泰勒(Taylor）中值定理2如果函数f(x)在x,的某邻域U(x)内具有(n+1)阶的导数，则对任一xε(a,b)，有(x)=(x)+ (x)(x-x)+()(x-x,)2!f(n (xo)(x-x)" + R,(x)++n!f(n+1)()其中 R,(x)=(x一x)n+1(在x,与x之间)(n +1)!
0 0 0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( 1) 1 0 0 ( ) ( ) ( 1) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( 1) Taylor) 2 ! n n n n n n f x x U x n x a b f x f x f x f x x x x x f x x x R x n f R x x x x x n + + + = + − + − + + − + = − + 如果函数 在 的某邻域 内具有 阶的导数，则对任一 ，有 泰勒 中值 在 定 其 与 理 中 之间
证明：由假设，R,(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶导数,且R,(x) = R,(x) = R(x) = ... = R(n(x) = 0两函数R()及(x一x)n+在以x及x为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得R,(x)R,(x)- R,(xo)(x-x,)n+1(x - x)n+1 - 0R,(S)（S在x与x之间）(n+1)(5 -xo)
证明: 由假设,R (x) n 在(a,b)内具有直到(n + 1)阶 导数,且 两函数R (x) n 及 1 0 ( ) + − n x x 在 以 0 x 及 x为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件,得( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 在x 与x之间 n x R n n + − = ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 − − − = − + n+ n n n n x x R x R x x x R x ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) R x0 = R x0 = R x0 = = R x = n n n n n
两函数R,(x)及(n+1)(x-x)"在以x,及,为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得R,(5)R,(5) - R,(x)(n + 1)(i - x)" - 0(n+1)(Si -xo)"R(52)(,在x与5之间）(n + 1)n(5, - x,)"-1如此下去，经过(n+1)次后，得R(n+1)(5)R,(x)(x-x)"+1(n+ 1)!(在x,与,之间，也在x,与x之间)
( 1)( ) 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 + − − = + − n n n n n n x R R x n x R 2 1 2 0 1 2 0 ( ) ( ) ( 1) ( ) n n R x n n x − = + − 在 与 之间 ( 1) 1 0 0 0 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1)! ( ) n n n n n n R x R x x n x x x + + + = − + 如此下去，经过 次后，得 在 与 之间,也在 与 之间 0 0 1 ( ) ( 1)( )n R x n x x x n 两函数 及 + − 在以 及 为 端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得