(6) 0xi01=0x0+i0xp0 (7)h4p]=p'umtp(l 7 导向量F,)=im是 M f'(t) △t→0△t △r 向量值函数r=(t)的终端曲 f(t N (,+△t) △ 线厂在点M处的一个切向量， 其方向与的增长方向一致
(6) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) (7) [ ( )] ( ) [ ( )] d u t v t u t v t u t v t d td u t t u t d t 0 0 ( ) lim ( ) t r f t t t t r f M 导 向 量 是 向 量 值 函 数 的 终 端 曲 线 在 其 方 向点 处 的 一 个 与 的 增 长 方 切 向 量， 向一致. x y Oz M r rt 0 f t( ) 0 f t t ( ) 0 f t ( ) N
例1设f(t)=(cost)i+(sint)j+tk,求imf(t). lim f(t)=(lim cost)i+(lim sin t)j+(lim t), t→ t→ t→ 4 -+9+
4 1 ( ) (cos ) (sin ) , lim ( ). t f t t i t j t k f t 例 设 求 4 4 4 4 lim ( ) (lim cos ) (lim sin ) (lim ) , t t t t f t t i t j t k 解： 2 2 = 2 2 4 i j k
例2设空间曲线厂的向量方程为 r=f(t)=(t+1,4t-3,2t2-6t0)t∈R 求曲线Γ在与t,=2相应的点处的单位切向量. 解：f'(t)=(2t,4,4t-6)·∫'(2)=(4,4,2) 又有f()=V4+42+22=6 所以单位切向量为 f'(2 2= 221 f(2
解 ： ( ) (2 , 4, 4 6) f t t t (2) (4, 4, 2) f 2 2 2 又有 ( ) 4 4 2 6 f t (2) 2 2 1 (2) 2 2 1 ( , , ) ( , , ) (2) (2) 3 3 3 3 3 3 f f f f 所以单位切向量为 或 2 2 0 2 ( ) ( 1,4 3, 2 6 ) 2 r f t t t t t t R t 例 设空间曲线 的向量方程为 求曲线 在与 = 相应的点处的单位切向量
例3一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流 而位置向量为r=f(t)=(3cost)i+(3sint)j+tk, 的路径螺旋式向上求 (1)滑翔机在任意时刻的速度向量和加速度向量。 (2)滑翔机在任意时刻的速率， (3)滑翔机加速度与速度正交的时刻！ 解：()F=f(t)=(3cost)i+(3sin0j+2元 =4=(-3sini+(3c0s)j+2k dt
2 3 ( ) (3cos ) (3sin ) , . r f t t i t j t k 例 一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流 而位置向量为 的路径螺旋式向上 求 2 解 ： (1) ( ) (3 cos ) (3 sin ) r f t t i t j t k ( 3 sin ) (3 cos ) 2 d r v t i t j t k d t (1)滑翔机在任意时刻t的速度向量和加速度向量. (2)滑翔机在任意时刻t的速率. (3)滑翔机加速度与速度正交的时刻
。d2 = ar2 =(-3cost)i+(-3sint)j+2 (2)速率为速度的大小，即 =-3sint)2+(3c0st)2+(2)2=v9+4 (3)由va=9 sintcost-9 sintcost+4t=0,得t=0. 表明速度与加速度正交的唯一时刻为得t=0
2 2 ( 3 cos ) ( 3 sin ) 2 d r a t i t j k d t 2 2 2 2 (2) ( 3 sin ) (3 cos ) (2 ) 9 4 v t t t t 速率为速度的大小，即 (3) 9 sin cos 9 sin cos 4 0, 0. 0 . v a t t t t t t t 由 得 表明速度与加速度正交的唯一时刻为得