§5.6 正定二次型 一、正定二次型的概念 二、正定二次型的判定 三、负定二次型的概念 四、小结思考题
§5.6 正定二次型 一、正定二次型的概念 二、正定二次型的判定 三、负定二次型的概念 四、小结 思考题
一、正定二次型的概念 1、定义：设f=XAX(A=A)为实二次型，如果对于 任意n维列向量X≠0，都有f=XrAX>0,则称f=X AX为正定二次型，实对称矩阵A为正定矩阵 如果对于任意n维列向量X≠0，都有f=XrAX≥0，则 称f=X”AX为半正定二次型，实对称矩阵A为半正定 矩阵。 例如：∫=x2+x,2++x,2是正定二次型。 f=x2+x2++x,2(r<m)是半正定二次型。 2
一、正定二次型的概念 , . 0, 0, 1 : ( ) , 为正定二次型 实对称矩阵 为正定矩阵 任意 维列向量 都有 则称 、定义 设 为实二次型 如果对于 AX A n X f X AX f X f X AX A A T T T T = = = = 矩阵。 称 为半正定二次型 实对称矩阵 为半正定 如果对于任意 维列向量 都有 则 f X AX A n X f X AX T T , 0, 0, = = 例如： 是正定二次型。 2 2 2 2 1 n f = x + x ++ x ( )是半正定二次型。 2 2 2 2 f = x1 + x ++ xr r n
2正定二次型的性质： ()实二次型f=x2+x2++,x,2是正定二次 型的充要条件是其系数2>0i=1.n) (2)可逆线性变换保持二次型的正定性不变。 X=CY 即如果有：f=XAX=YTBY=g 则是正定二次型的充要条件是？是正定二次型
2.正定二次型的性质： 0( 1 ). (1) 2 2 2 2 2 1 1 i n f x x x i n n = = + + + 型的充要条件是其系数 实二次型 是正定二次 (2)可逆线性变换保持二次型的正定性不变。 f X AX Y BY g T X CY T = = = = 即如果有： 则f是正定二次型的充要条件是g是正定二次型
二、正定二次型的判别 定理1：实二次型f=XAX是正定二次型的充要条 件是其标准形中各平方项系数入，全大于零 证：设二次型f=XAX经可逆线性变换 X=CY化为标准形f=2y+2片++Jy 充分性： 若2>0(i=1,2,.,),对于任意的X≠0，则有 Y=C-1X≠0 故f(X)=f(CY)=y+2y+.+九nJy%>0 即二次型正定
二、正定二次型的判别 2 2 2 C 1 1 2 2 n n f X AX X Y f y y y = = = + + + 证:设二次型 经可逆线性变换 化为标准形 充分性 : 1 0( 1,2, , ) 0 0 i i n X Y C X − = = 若 ，对于任意的 ，则有 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 0 n n 故 f X f CY y y y = = + + + 即二次型f正定. . 1 件是其标准形中各平方项系数 全大于零 定理 ：实二次型 是正定二次型的充要条 i T f X AX =
必要性（反证法） 假设存在某个，≤0，取Y=e,(单位向量)，当X= Ce,≠0，则有f(X)=f(Ce,)=,≤0. 上式与f为正定二次型矛盾，因而2>0(i=1,2,.,). 推论1：实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是 A的特征值全为正数. 推论2：实二次型f=XAX为正定的充分必要条件是 它的规范标准形为f=+y子+.+y 推论3：实二次型f=XAX为正定的充分必要条件是 它的正惯性指数为n:
必要性(反证法) 0 ( ) 假设存在某个s s = = ，取Y e X 单位向量 ，当 0( 1,2, , ). i 上式与f i n 为正定二次型矛盾，因而 = : 2 2 2 1 2 2 n f X AX f y y y = = + + + 实二次型 为正定的充分必要条件是 它的规范标准形为 推论 推论1：实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是 A的特征值全为正数. 0 ( ) ( ) 0. Ce f X f Ce s s s = = ，则有 : 实二次型f X AX = 为正定的充分必要条件是 它的正惯性 推论3 指数为n