第五章相似矩阵与二次型 或写成为矩阵形式：X=CY 其中 X= X2 ,Y= y2 C=(Ci)mxn yn 当C≠0，X=CY称为可逆的线性替换，否则称为 退化的线性替换.特别地 当C为正交矩阵时，称X=CY为正交线性替换
第五章 相似矩阵与二次型 或写成为矩阵形式: X CY = 1 1 2 2 , ( )ij m n n n x y x y X Y C c x y = = = 其中 ， 当 C X CY = 0, 称为可逆的线性替换，否则称为 退化的线性替换.特别地 当C为正交矩阵时，称X=CY为正交线性替换
第五章相似矩阵与二次型 二、二次型的矩阵表示 1.取ai=则20gxx,=gx,x,+0xx,(i<j) 于是f=x子+412水2++4n七Xn +a21X2X1+a2号+.+42n2xn ++amxx+anx++amx =x(a11x1+412x2+.+41mXn) +x2(M21x1+L22X2+.+42mXn） +.+Xn(anix+an2X2+.+amxn）
第五章 相似矩阵与二次型 二、二次型的矩阵表示 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n nn n f a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x = + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + + 2 ( ) ji ij ij i j ij i j ji j i 1.取a a a x x a x x a x x i j = = + ，则 于是
第五章相似矩阵与二次型 0111+412X2++41mn 21X1+2X2+.+2mXm =[X13X23.,nJ aniK1+an2x2+.+AnnXn」 av 12 azi 2 =[1,X2,Xn 02
第五章 相似矩阵与二次型 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 [ , , , ] n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x = 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 [ , , , ] n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x + + + + + + = + + +
第五章相似矩阵与二次型 411 12 ain x1 记A= 21 22 X= : 则二次型可记作f=XAX,其中A称为二次型的矩阵 显然，A是对称矩阵，二次型与对称矩阵是一一对应： 关于二次型矩阵须注意如下几点： (1)二次型矩阵的主对角线上是平方项系数： (2)二次型矩阵的非主对角线上元素是对应交叉 项系数的一半. (3)二次型矩阵是对称矩阵
第五章 相似矩阵与二次型 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , , n n n n nn n a a a x a a a x A X a a a x = = 记 则二次型可记作 , . f X AX A = 其中 称为二次型的矩阵 关于二次型矩阵须注意如下几点： 显然，A是对称矩阵.二次型与对称矩阵是一一对应. （3）二次型矩阵是对称矩阵. （1）二次型矩阵的主对角线上是平方项系数. （2）二次型矩阵的非主对角线上元素是对应交叉 项系数的一半
第五章相似矩阵与二次型 2.下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原二次 型的矩阵之间的关系. 设二次型f=XAX,作可逆线性变换X=CY f=XAX=(CY)A(CY) =Y'(CAC)Y=YBY其中B=CAC B=(CAC)=C'A(C)=B 所以B是对称矩阵，因而它是变换后二次型的矩阵
第五章 相似矩阵与二次型 2. 下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原二次 型的矩阵之间的关系. 设二次型f X AX X CY = = ，作可逆线性变换 f X AX CY A CY = = ( ) ( ) = = Y C AC Y Y BY ( ) 其中B C AC = B C AC C A C B = = = ( ) ( ) 所以B是对称矩阵，因而它是变换后二次型的矩阵