第四章微分方程例6试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数dydydy+4x=01+y(2)xdxdxdxdy)3d'y(3)x+5xy= 0,(4)cos(y") + In y = x +1.dx?dx解（1）该方程是一阶线性微分方程，因方程中含有的和都是一次dx(2）该方程是一阶非线性微分方程，因方程中含有的兴的平方项,dx(3）该方程是二阶非线性微分方程，因方程中含有的兴的三次方,dx（4）该方程是二阶非线性微分方程，因方程中含有非线性函数cos(y"）和lny210O
21 第四章 微分方程 例 6 试指出下列方程是什么方程, 并指出微分方程的阶数. d 2 (1) ; d y x y x = + 2 d d (2) 2 4 0; d d y y x x x x − + = 3 2 2 d d (3) 2 5 0; d d y y x xy x x − + = (4) cos( y ) + ln y = x +1. 解 (1) 该方程是一阶线性微分方程, 因方程中含有的 d d y x 和 y 都是一次. (2) 该方程是一阶非线性微分方程, 因方程中含有的 d d y x 的平方项. (3) 该方程是二阶非线性微分方程, 因方程中含有的 d d y x 的三次方. (4) 该方程是二阶非线性微分方程, 因方程中含有非线性函数cos(y ) 和ln y
第四章微分方程例7验证函数y=(x?+C)sinx（C为任意常数）是方程dyycotx-2xsinx=0dx的通解，并求满足初始条件元=0的特解2解要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同，对dyy=(x2+C)sinx求一阶导数，得=2xsinx+(x? +C)cosx,dx把和兴代入方程左边得dxdy- ycot x-2x sin x =2xsin x+(x2+C)cos x-(x2+C)sin xcot x-2x sin x =0.dx22?D
22 第四章 微分方程 例 7 验证函数 y (x C)sin x 2 = + (C 为任意常数)是方程 d cot 2 sin 0 d y y x x x x − − = 的通解, 并求满足初始条件 π 2 | 0 x y = = 的特解. 解 要验证一个函数是否是方程的通解, 只要将函数代入方程, 看是否恒等, 再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同. 对 y (x C)sin x 2 = + 求一阶导数, 得 d d y x 2 sin ( )cos , 2 = x x + x +C x 把 y 和 d d y x 代入方程左边得 d cot 2 sin d y y x x x x − − 2xsin x (x C)cos x (x C)sin xcot x 2x sin x 2 2 = + + − + − 0
第四章微分方程例7验证函数y=(x2+C)sinx(C为任意常数)是方程dy-ycotx-2xsinx=0dx的通解，并求满足初始条件=0的特解因方程两边恒等，且y中含有一个任意常数，故y=(x?+C)sinx是题设方程的通解将初始条件元=0代入通解y=(x2+C)sinx中元2+C，从而得0=C4423从而所求特解为sinaV=42300
23 第四章 微分方程 例 7 验证函数 y (x C)sin x 2 = + (C 为任意常数)是方程 d cot 2 sin 0 d y y x x x x − − = 的通解, 并求满足初始条件 π 2 | 0 x y = = 的特解. 因方程两边恒等, 且 y 中含有一个任意常数, 故 y (x C)sin x 2 = + 是题设方程 的通解. 将初始条件 π 2 0 x y = = 代入通解 y (x C)sin x 2 = + 中, 得 2 π 0 4 = +C , 从而 2 π . 4 C = − 从而所求特解为 2 2 π sin . 4 y x x = −
第三章内容导航第一节行微分方程的概念第二节阶微分方程一第三节二阶微分方程第四节微分方程的实际案例
24 第四章 微分方程 第一节 微分方程的概念 第二节 一阶微分方程 第三节 二阶微分方程 第四节 微分方程的实际案例 第三章 内容导航
课前导读微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同本节将根据一阶微分方程的不同类型给出相应的解法，主要介绍可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程25
课 前 导 读 25 微分方程的类型是多种多样的, 它们的解法也各不相同. 本节 将根据一阶微分方程的不同类型给出相应的解法, 主要介绍可分离 变量的微分方程､齐次方程､一阶线性微分方程