第四章微分方程一、可分离变量的微分方程dy设有一阶微分方程F(x），如果其右端函数能分解成dxdyF(x,J)= f(x)g(y), 即有f(x)g(y)，从而能够写成dxdy(1)=f(x)dxg(y)的微分方程称为可分离变量的微分方程该微分方程(1)的特征是左端只含有v的函数和v的微分dy，右端只含有x的函数和x的微分dx.设函数g(y)，f(x)是连续的，两边同时积分，即有)=[ f(x)dxg(y)方程两边同时求原函数便得到了关于x,的方程，它便是微分方程(1)的通解2600
26 第四章 微分方程 一､可分离变量的微分方程 设 有 一 阶 微 分 方 程 d ( , ) d y F x y x = , 如 果 其 右 端 函 数 能 分 解 成 F x y f x g y ( , ) ( ) ( ) = , 即有 d ( ) ( ) d y f x g y x = , 从而能够写成 d ( )d ( ) y f x x g y = (1) 的微分方程称为可分离变量的微分方程. 该微分方程(1)的特征是左端只含有 y 的函数和 y 的微分dy , 右端只含有 x 的函数和 x的微分dx . 设函数 g y f x ( ), ( ) 是连续的, 两边同时积分, 即有 d ( )d ( ) y f x x g y = . 方程两边同时求原函数便得到了关于 x y, 的方程, 它便是微分方程(1)的通解
第四章微分方程dy=2xy的通解例1求微分方程dx解所给方程是可分离变量的微分方程dy=2xdx(y±0),分离变量得y[=[2xdx.两端积分则有In/y=x2+Ci.两边取指数函数y=±er+c=tec记C=士e，它仍然是任意常数，则得到题设方程的通解V=Cer（这个通解包含y=0时的情形27?
27 第四章 微分方程 例 1 求微分方程 d 2 d y xy x = 的通解. 解 所给方程是可分离变量的微分方程. 分离变量得 d 2 d ( 0) y x x y y = , 两端积分 d 2 d y x x y = . 则有 2 1 ln | | y x C = + . 两边取指数函数, 2 2 1 1 e e e x C C x y + = = . 记 1 e C C = , 它仍然是任意常数, 则得到题设方程的通解 2 e x y C= .(这 个 通解包含 y = 0时的情形)
第四章微分方程福注为了书写方便，可以不必先取绝对值ln，再去掉绝对值符号后令C=土e，而在两边积分时就写成lny，把常数C,写成InC，这样方程[[2xdx的解为lny=x?+InC，即可以得到y=Cer，但要记住最后得到的常数C是可以取负值的任意常数，以后遇到这种情况均可以这样表示28
28 第四章 微分方程 注 为了书写方便, 可以不必先取绝对值 ln | | y , 再去掉绝对值符 号后令 1 e , C C = 而在两边积分时就写成 ln y , 把常数C1 写 成 lnC , 这 样 方程 d 2 d y x x y = 的解为 2 ln ln y x C = + , 即可以得到 2 e x y C= . 但要记住, 最后得到的常数C 是可以取负值的任意常数. 以后遇到这种情况均可以 这样表示
第四章微分方程例2求微分方程dx+xydy=y?dx+ydy的通解解先合并dx及dy的各项，得y(x-1)dy=(y2-1)dx设y2-1±0，x-1±0分离变量得dxx-dx得两端积分In(y2 -1)= In(x- 1)+InC,则得到题设方程的通解：y2-1=C(x-1)229
29 第四章 微分方程 例 2 求微分方程 2 d d d d x xy y y x y y + = + 的通解. 解 先合并dx及dy 的各项, 得 2 y x y y x ( 1)d ( 1)d − = − . 设 2 y − 1 0 , x − 1 0分离变量得 2 1 d d 1 1 y y x y x = − − . 两端积分 2 1 d d 1 1 y y x y x = − − 得 1 2 ln( 1) ln( 1) ln 2 y x C − = − + , 则得到题设方程的通解: 1 ( 1) . 2 2 y − = C x −
第四章微分方程注，在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中，我们在假定g（）±0的前提下，用它除方程两边，这样得到的通解不包含使g(y)=0的特解．但是，有时如果扩大任意常数C的取值范围，则其失去的解仍包含在通解中如例2中得到的通解中应该满足C￥0，但这样方程就失去特解y=±1，而如果允许C=0，则y=仍包含在通解y2-1=C(x-1)2中30
30 第四章 微分方程 注 在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在 假 定 g(y) 0 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解不包含使 g(y) = 0的特解. 但是, 有时如果扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去 的解仍包含在通解中. 如例 2 中得到的通解中应该满足C 0 , 但这样 方程就失去特解 y = 1 , 而如果允许 C = 0 , 则 y = 1 仍包含在通解 2 2 y −1= C(x −1) 中