第四章微分方程3.微分方程的解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数，含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解(一般解）一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解：方程的通解是一类解，而不是指方程的“全部解”实际上，我们在求解方程时得到一些解，很难说明这些解是否构成了方程的“全部解”这种工作有时会比求解方程本身还困难而实际工作中又告诉我们无须去做这样的工作，因此我们将关注点放在求方程的通解和特解上注这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少16
16 第四章 微分方程 3､微分方程的解: 微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 含有相互独立的任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解(一般解). 注 这里所说的相互独立的任意常数, 是指它们不能通过合并而使得通解 中的任意常数的个数减少. 一 般地, 微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 方程的通解是一类 解, 而不是指方程的“全部解”. 实际上, 我们在求解方程时得到一些解, 很难说 明这些解是否构成了方程的“全部解”, 这种工作有时会比求解方程本身还困难, 而实际工作中又告诉我们无须去做这样的工作, 因此我们将关注点放在求方程 的通解和特解上
第四章微分方程4、微分方程的初值问题许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件．例如，条件(2)和(5）分别是微分方程(1)和(4)的初始条件带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题17
17 第四章 微分方程 4､微分方程的初值问题: 许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解, 此时, 这类附加条件就可 以用来确定通解中的任意常数, 这类附加条件称为初始条件. 例如, 条件(2)和(5) 分别是微分方程(1)和(4)的初始条件. 带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题
第四章微分方程5.微分方程的积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线，由于通解中含有任意常数，所以它的图形是具有某种共同性质的积分曲线族，例如，例1中的通解y=x?+C是抛物线族，这些图形的共性是每一条抛物线上任意一点M(xy)处的斜率均为2x.而方程的特解是过点（1,2)的一条抛物线，也就是说特解是积分曲线中满足初始条件的某一条特定的积分曲线(见图4-1)18
18 第四章 微分方程 5､微分方程的积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 称为微分方程的积分曲线. 由于通解中含 有任意常数, 所以它的图形是具有某种共同性质的积分曲线族. 例如, 例 1 中的 通 解 2 y x C = + 是抛物线族, 这些图形的共性是每一条抛物线上任意一点 M x y ( , ) 处的斜率均为 2x . 而方程的特解是过点 (1, 2) 的一条抛物线, 也就是说, 特解是积分曲线中满足初始条件的某一条特定的积分曲线(见图 4-1)
第四章微分方程例4设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T与时间t的函数关系为T=T（t），则可建立起函数T（t）满足的微分方程dT-k(T-20)(13)dt其中k（k>0）为比例常数，这就是物体冷却的数学模型根据意，T=T(t)还需满足条件0=100(14)19
19 第四章 微分方程 例 4 设一物体的温度为 100℃, 将其放置在空气温度为 20℃的环境中冷却. 根据冷却定律:物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比, 设物体的 温度T 与时间t 的函数关系为 T = T(t) , 则可建立起函数 T (t)满足的微分方程 d ( 20) d T k T t = − − (13) 其中k (k 0) 为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型. 根据题意, T = T(t) 还需满足条件 | 100. T t=0 = (14)
第四章微分方程例5设一质量为m的物体只受重力的作用由静止开0始自由垂直降落，根据牛顿第二定律：物体所受的力F等m于物体的质量m与物体运动的加速度α成正比，即x=x(t)F=ma，若取物体降落的铅垂线为x轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是t=0，物体下落的距离x与时间t的函数关系为x=x(t)（见图4-2)，则可建立起函数x（t）满足的微分方程xd'x图4-2=gdt?其中：为重力加速度常数，这就是自由落体运动的数学模型根据题意，x=x(t)还需满足条件dx= 0.x(0)=0,20dt /=0
20 第四章 微分方程 例 5 设一质量为 m 的物体只受重力的作用由静止开 始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律:物体所受的力 F 等 于物体的质量 m 与物体运动的加速度 a 成正比, 即 F = ma , 若取物体降落的铅垂线为 x 轴, 其正向朝下, 物 体下落的起点为原点, 并设开始下落的时间是t = 0, 物体 下落的距离 x与时间t 的函数关系为 x = x(t) (见图4-2), 则 可建立起函数 x(t) 满足的微分方程 2 2 d d x g t = 其中 g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型. 根据题意, x = x(t) 还需满足条件 0 d (0) 0, 0. d t x x t = = = m x=x(t) x O 图4-2