第四章微分方程二、微分方程的基本概念1.微分方程含有未知函数及其导数与自变量的等式称为微分方程（其中自变量未知函数可以在方程中不出现，但未知函数的导数必须出现）11
11 第四章 微分方程 二､微分方程的基本概念 1.微分方程: 含有未知函数及其导数与自变量的等式称为微分方程(其中自变量､ 未知函数可以在方程中不出现, 但未知函数的导数必须出现)
第四章微分方程2.微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y)=0dydy0都是一阶微分方程例如方程y'-y-x?=0，(y)2-xy4=0,2ydxdx二阶微分方程的一般形式为F(x,y,y',y")=0d?jdy例如方程(y")?-y-x?=0sinx=0都是二阶微分方程dxdx12?
12 第四章 微分方程 2､微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶. 一阶微分方程的一般形式为F x y y ( , , ) 0 = . 例如方程 2 y y x ' 0 − − = , 2 3 4 ( ') 0 y x y − = , 2 d d 2 0 d d y y x y x x − = 都是一阶微分方程. 二阶微分方程的一般形式为 F x y y y ( , , , '') 0 = . 例如方程 2 2 ( '') 0 y y x − − = , 2 2 d d 2 sin 0 d d y y y x x x − + = 都是二阶微分方程
第四章微分方程n阶微分方程的一般形式是(10)F(x,y,y,y"..",yn)）=0其中x为自变量，y=(x)是未知函数.在方程(10)中y(n)必须出现，而其他变量可以不出现，例如，n阶方程y（n）=e如果能从方程(10）中解出最高阶导数，就得到微分方程y(n) =f(x, y, y,...,y(n-l).(11)以后我们讨论的微分方程组主要是形如(11)的微分方程，并且假设(11)式右端的表达式f在所讨论的范围内连续13
13 第四章 微分方程 n阶微分方程的一般形式是: ( , , , , ) 0, ( ) = n F x y y y y (10) 其中 x为自变量, y = y(x)是未知函数.在方程(10)中 ( ) n y 必须出现, 而其他变 量可以不出现, 例如, n阶方程 ( ) e n x y = . 如果能从方程(10)中解出最高阶导数, 就得到微分方程 ( , , , , ). ( ) ( −1) = n n y f x y y y (11) 以后我们讨论的微分方程组主要是形如(11)的微分方程, 并且假设(11)式 右 端的表达式 f 在所讨论的范围内连续
第四章微分方程如果方程(11)可表为如下形式y(n) +a,(x)y(n-l) +...+a-(x)y +a,(x)y= g(x)(12)则称方程(12)为n阶线性微分方程.其中a,(x),a,(x)，…，a,(x)和g(x)均为自变量x的已知函数不能表示成形如(12)式的微分方程，统称为非线性方程14
14 第四章 微分方程 如果方程(11)可表为如下形式: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y a x y a x y a x y g x n n n n + + + − + = − (12) 则称方程(12)为n阶线性微分方程. 其中 ( ), 1 a x ( ), 2 a x , a (x) n 和 g(x) 均为自变 量 x的已知函数. 不能表示成形如(12)式的微分方程, 统称为非线性方程
第四章微分方程3、微分方程的解在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程然后找出满足该微分方程的函数（解微分方程），也就是说，把这个函数代入微分方程能使方程成为恒等式，称这个函数为该微分方程的解更确切地说，设函数y=(x）在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，有F(x,p(x),p(x),p"(x).,p("(x))=0则称函数V=0（x）为微分方程（10）在区间I上的解15S
15 第四章 微分方程 3､微分方程的解: 在研究实际问题时, 首先要建立属于该问题的微分方程, 然后找出满足该微 分方程的函数(解微分方程), 也就是说, 把这个函数代入微分方程能使方程成为 恒等式, 称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说, 设函数 y =(x) 在区间 I 上有 n 阶连续导数, 如果在区间 I 上, 有 ( , ( ), ( ), ( ) , ( )) 0, ( ) F x x x x x = n 则称函数 y =(x) 为微分方程(10)在区间 I 上的解