第四章微分方程例2列车在平直线路上以20m/s（相当于72km/h）的速度行驶，当制动时列车获得加速度-0.4m/s，开始制动后多少时间列车才能停住？列车在这段时间里行驶了多少路程？解设列车在开始制动后t时行驶的距离为s米根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数S=S（t）应满足关系式d?s-0.4.（称为二阶微分方程(4)dt此外，未知函数S=s(）还应满足下列条件dst=0时,s=0,20dt(5)简记为s-0=0，s'L=0=20.（两个初始条件
6 第四章 微分方程 例2 列车在平直线路上以20m/ s (相当于72km/h )的速度行驶, 当制动时列 车获得加速度 2 −0.4m/s . 开始制动后多少时间列车才能停住? 列车在这段时间 里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t 时行驶的距离为 s 米 根据题意, 反映制动阶段 列车运动规律的函数 s s t = ( )应满足关系式 2 2 d 0.4 d s t = − (称为二阶微分方程) (4) 此外, 未知函数s s t = ( )还应满足下列条件: t = 0时, s = 0 , d 20 d s v t = = 简记为 0 | 0 t s = = , 0 '| 20 t s = = . (两个初始条件) (5)
第四章 微分方程例2列车在平直线路上以20m/s（相当于72km/h）的速度行驶，当制动时列车获得加速度-0.4m/s2，开始制动后多少时间列车才能停住？列车在这段时间里行驶了多少路程？d’s-0.4.（称为二阶微分方程(4)dt?把(4)式两端积分一次，得ds(6)0.4t+Cdt再积分一次，得(7)S=-0.2t2+C,t+C这里C，C,都是任意常数把条件v==20代入(6)得20=Cl
7 第四章 微分方程 把(4)式两端积分一次, 得 1 d 0.4 d s v t C t = = − + ; (6) 再积分一次, 得 2 1 2 s t C t C = − + + 0.2 . (7) 这里C1 , C2 都是任意常数 把条件 0 | 20 t v = = 代入(6)得 1 20 = C , 例2 列车在平直线路上以20m/ s (相当于72km/h )的速度行驶, 当制动时列 车获得加速度 2 −0.4m/s . 开始制动后多少时间列车才能停住? 列车在这段时间 里行驶了多少路程? 2 2 d 0.4 d s t = − (称为二阶微分方程) (4)
第四章 微分方程例2列车在平直线路上以20m/s（相当于72km/h）的速度行驶，当制动时列车获得加速度-0.4m/s2，开始制动后多少时间列车才能停住？列车在这段时间里行驶了多少路程？把条件sl=0=0代入(7)得0=C,把C，C,的值代入(6)及(7)式得(8)v = -0.4t + 20,(9)S = -0.2t2 +20t在(8)式中令V=0，得到列车从开始制动到完全停住所需的时间2050(s)0.4再把t=50代入（9），得到列车在制动阶段行驶的路程S=-0.2.502+20.50=500m.8
8 第四章 微分方程 在(8)式中令v = 0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 20 50( ) 0.4 t s = = . 再把t = 50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程 2 s m = − + = 0.2 50 20 50 500 . 把C1 , C2 的值代入(6)及(7)式得 v t = − + 0.4 20, (8) 2 s t t = − + 0.2 20 , (9) 例2 列车在平直线路上以20m/ s (相当于72km/h )的速度行驶, 当制动时列 车获得加速度 2 −0.4m/s . 开始制动后多少时间列车才能停住? 列车在这段时间 里行驶了多少路程? 把条件 0 | 0 t s = = 代入(7)得 2 0 = C
第四章微分方程例3已知放射性物质镭的裂变规律是裂变速度与余存量成比例，记在某时刻t=to，镭的余存量为R.g，试确定镭在任意时刻t的余存量R(t)dR(0)dR(t)从解由于是镭的增长速度，因此裂变速度(减少速度)应为dtdtdR(t)kR(t)，其中k为比例系数要解决上述问题，就要确而按裂变规律，有dt定R(t),dt1d-InR+C，其上式可写成两边对R积分dR得t=dRkRdRkdRkR从而R=e-k+kC=Ce-k，其中C为任意常数中C,为任意常数.由 R(to)=Ro，得C= Re，因此R=R,e-k(-)即为所求9
9 第四章 微分方程 例 3 已知放射性物质镭的裂变规律是裂变速度与余存量成比例. 记在某一 时刻 0 t t = , 镭的余存量为 R0 g, 试确定镭在任意时刻t 的余存量 R t( ). 解 由 于 d ( ) d R t t 是镭的增长速度, 因此裂变速度(减少速度)应 为 d ( ) d R t t − , 从 而按裂变规律, 有 ( ) ( ) d d R t kR t t − = , 其中k 为比例系数. 要解决上述问题, 就要确 定 R t( ). 上式可写成 d 1 d t R kR = − , 由 R t R ( 0 0 ) = , 得 0 0 e kt C R = , 因此 ( 0 ) 0 e k t t R R − − = 即为所求. 两边对 R 积 分: d 1 d d d t R R R kR = − 得 1 1 t R C ln k = − + , 其 中 C1 为任意常数. 从而 e e kt kC kt R C − + − = = , 其中C 为任意常数
第四章微分方程例3已知放射性物质镭的裂变规律是裂变速度与余存量成比例，记在某一时刻t=to，镭的余存量为R。g，试确定镭在任意时刻t的余存量R（t)dR(t)kR(t)即为微分方程，它表示函数 R(t)的一个变化规律注式子dtdR(0)即其减少速度与其本身R(t)成比例.尽管我们是从镭的裂变这一特殊问dt题导出此方程，但此方程应用远不正此，只要某物理量的变化服从同样的规律就可用此方程来确定上面的几个例子，尽管实际意义不同，但是解决问题的方法都是首先建立一个含有未知函数的导数的方程，然后通过这个方程，求满足所给的条件的未知函数10OOC
10 第四章 微分方程 注 式 子 ( ) ( ) d d R t kR t t − = 即为微分方程, 它表示函数 R t( ) 的一个变化规律, 即其减少速度 d ( ) d R t t − 与其本身 R t( )成比例. 尽管我们是从镭的裂变这一特殊问 题导出此方程, 但此方程应用远不止此, 只要某物理量的变化服从同样的规律, 就可用此方程来确定. 上面的几个例子, 尽管实际意义不同, 但是解决问题的方法都是首先建立一 个含有未知函数的导数的方程, 然后通过这个方程, 求满足所给的条件的未知函 数. 例 3 已知放射性物质镭的裂变规律是裂变速度与余存量成比例. 记在某一 时刻 0 t t = , 镭的余存量为 R0 g, 试确定镭在任意时刻t 的余存量 R t( )