《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第8章 重积分 第四节 重积分的应用

二、曲面的面积设光滑曲面 S:z=f(x,y),(x,y)DSMS则面积A可看成曲面上各点M（x,y,z）处小切平面的面积dA无限积累而成2设它在D上的投影为do，则dg1do =cosy·dAnCOSY=(1+ fx(x,y)+ f,(x,y)AdAdA= /1+ f2(x,y)+ f,(x,y) doMIdo2（称为面积元素）目录上页下页返回结束机动

 M d A z d n 二、曲面的面积 x y z S o 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 M ( x, y, z) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , d  = cos   d A 1 ( , ) ( , ) 1 cos 2 2 f x y f x y + x + y  = d 1 ( , ) ( , ) d 2 2 A f x y f x y = + x + y (称为面积元素) 则   M n  d

故有曲面面积公式A= J, /1+ f?(x, y)+ f,2(x,y) dc+()2即1+()2 +dxdyA=J若光滑曲面方程为x= g(y,z),(y,z) D=,则有X)dydz目录上页下页返回结束机动

故有曲面面积公式 1 ( , ) ( , ) d 2 2  = + + D x y A f x y f x y x y y z x z A D 1 ( ) ( ) d d 2 2    +   = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , D y z x = g y z y z  则有 Dy z 即

若光滑曲面方程为 =h(z,x)（z,x)ε D=x,则有+()222dzdxax若光滑曲面方程为隐式 F(x,y,2)=0,且 F,≠0,则H?azd拉(x, y) e DxyaxFVd1F?+F,?+F?dxdyDxy目录上页下页返回结束机动

z x x y z y A 1 ( ) ( ) d d 2 2   +   = +  若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dz x y = h z x z x  若光滑曲面方程为隐式 则 则有 x y z y z x x y D F F y z F F x z = −    = −   , , ( , )   A = Dx y Dz x z x y z F F F F 2 2 2 + + 且 dx d y

例3.计算双曲抛物面z=xy被柱面x2+2=R2所截出的面积A解：曲面在xoy面上投影为Dx2+2≤R2,则A=[J,/1+=?+z,2 dxdyJJ, V1+x?+y2 dxdydefeVi+r?rdr2元[(1+ R2)% -1)]3目录上页下页返回结束机动

例3. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xoy 面上投影为 : , 2 2 2 D x + y  R 则 A z z x y D x y 1 d d 2 2  = + + x y x y D 1 d d 2 2  = + + r r r R d 1 d 0 2 2 0   = +   [(1 ) 1)] 3 2 2 3 2 =  + R − 出的面积 A

例4.计算半径为α的球的表面积asinpde解：方法1利用球坐标方程de二★设球面方程为r=aasing球面面积元素为DdA=α’ sinddadp21九Vdelsin pdpA=ax=4元α2方法2利用直角坐标方程（见书P109）目录上页下页返回结束机动

例4. 计算半径为 a 的球的表面积. 解: 设球面方程为 r = a 球面面积元素为 d sin  d d 2 A = a    =      0 2 0 2 A a d sin d 2 = 4 a a sin ad 方法2 利用直角坐标方程. (见书 P109) 方法1 利用球坐标方程.   a x y z o d a sin d