2、X型区域上的二重积分第七章多元函数积分学注把区域写成X型表达式时，一定注意把边界曲线写成y是x的函数，同时注意边界曲线所在的上下位置[z=f (x,y)图7-12Yz=f(x,y)一般地，若D是由x=a,x=b, y=q(x),y=P(x)所围成的X型闭区域，现在求S(x)dS(x)=["(@ f(x,y)dy以D为底的以曲面az=f(x,y）（f(x,J)连续且非y=P,(x)J-p(x)负）为顶的曲顶柱体的体积（见bDx图7-12）.36>
36 第七章 多元函数积分学 注 把区域写成 X 型表达式时，一定注意把边界曲线写成 y 是x的函数，同 时注意边界曲线所在的上下位置. 一般地，若 D 是 由 1 2 x a x b y x y x = = = = , , ( ), ( ) 所围成的 X 型闭区域，现在求 以 D 为 底 的 ， 以 曲 面 z f x y = ( , ) （ f x y ( , ) 连续且非 负）为顶的曲顶柱体的体积（见 图 7-12）. 图 7-12 2､X型区域上的二重积分 S(x) D d a b x z=f (x,y) S(x)= f (x ,y)dy 2 (x) 1(x) y= 2 (x) y= 1 (x) z=f (x,y) x=x y z x ▲▲▲
2、X型区域上的二重积分第七章多元函数积分学垂直于x轴，可以过x轴上的任一点x做曲顶柱体的截面，则截面面积是以[(x),2(x)]为底，以z=f(x,)为顶的曲边梯形，其面积为S(x)= ["() f(x, y)dy对应的立体体积为V= "s(x)dx= "[r() f(x,y)dy dxI' dx n f(x, y)dy.该积分是先x后次序的二次积分，也可以记作从而[f f(x, y)dxdy= [' s(x)dx = ["[r(" f(x, y)dy dx = ['dx ["f(x,y)d)37
37 第七章 多元函数积分学 垂直于 x轴，可以过 x轴上的任一点 x做曲顶柱体的截面，则截面面积是以 1 2 [ ( ), ( )] x x 为底，以 z f x y = ( , ) 为顶的曲边梯形，其面积为 2 1 ( ) ( ) ( ) ( , )d x x S x f x y y = . 对应的立体体积为 2 1 ( ) ( ) ( )d ( , )d d b b x a a x V S x x f x y y x = = . 该积分是先 x后 y 次序的二次积分,也可以记作 2 1 ( ) ( ) d ( , )d b x a x x f x y y . 从而 ( , )d d D f x y x y 2､X型区域上的二重积分 ( )d b a = S x x 2 1 ( ) ( ) ( , )d d b x a x f x y y x = 2 1 ( ) ( ) d ( , )d b x a x x f x y y =
2、X型区域上的二重积分第七章多元函数积分学[[ f(x, y)dxdy='s(x)dx=JFa f(x, )dy dx=J'dxja f(x, )dy. (3 )式（3）表明，将二重积分转化为先x后V次序的二次积分来计算，关键是确定二次积分中关于变量V的积分限，即确定区域D的X型表达式，如果区域是图7-12所示x区域，在区域[a,b]上任意取定一点x，并过此点做一条平行于y轴的直线，顺着V轴正向的方向看去，直线与边界曲线的第一个交点的纵坐标（x）就是积分的下限，第二个交点的纵坐标?（x）是积分的上限，这个关于变量V的积分计算的结果是x的函数，再对变量x在区间[α，b]上做定积分即可式（3）对f(x,)<0也成立38
38 第七章 多元函数积分学 式（3）表明，将二重积分转化为先 x 后 y 次序的二次积分来计算，关键是确定二 次积分中关于变量 y 的积分限，即确定区域D 的 X 型表达式. 式（3）对 f x y ( , ) 0 也成立. 2､X型区域上的二重积分 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )d d ( )d ( , )d d d ( , )d b b x b x a a x a x D f x y x y S x x f x y y x x f x y y = = = . （3） 这个关于变量 y 的积分计算 的结果是 x 的函数，再对变量 x 在区间[ , ] a b 上做定积分即可. 如果区域是图 7-12 所示 x 区域，在区域[ , ] a b 上任意取定一点 x ，并过此点做一条平行于 y 轴的直线， 顺 着 y 轴正向的方向看去，直线与边界曲线的第一个交点的纵坐标 1 ( ) x 就是积分 的下限，第二个交点的纵坐标 2 ( ) x 是积分的上限
2、X型区域上的二重积分第七章多元函数积分学例 8计算二次积分[~dx[xydy,解设S(x)=「xydy，被积函数是关于x,y的二元函数。积分变量是y，则2，则可以把x看成常数，被积函数的原函数为x：+?*(-x 2. 则dxdy=~S(x)dx==(3 -x)dxS( x)=办（ 1) -( )730=2424334注在计算第一个定积分「xydy时，是自变量，x看成常数；而计算第二个定积分「（x3-x2)dx时，x是积分变量390C
39 第七章 多元函数积分学 例 8 计算二次积分 0 1 d d x x x xy y − . 解 设 ( ) d x x S x xy y = ，被积函数是关于 x y, 的二元函数. 积分变量是 y ， 则 可以把 x看成常数，被积函数的原函数为 1 2 2 x y ，则 1 1 1 2 2 3 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x x S x x y x x x x x = = − = − . 则 0 1 d d x x x xy y − 4 3 0 1 1 ( ) | 2 4 3 x x = − − 注 在计算第一个定积分 d x x xy y 时，y 是自变量，x看成常数；而计算第二 个定积分 0 3 2 1 ( )d x x x − − 时， x是积分变量. 2､X型区域上的二重积分 0 1 S x x ( )d − = 0 3 2 1 1 ( )d 2 x x x − = − 4 3 4 3 1 0 0 ( 1) ( 1) ( ) ( ) 2 4 3 4 3 − − = − − − 7 24 = −
2、X型区域上的二重积分第七章多元函数积分学例9计算[xydo,其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域D解如图7-13，把区域写成X型表达式，则有D=(x,y)/1≤y≤x,1≤x≤2)y所以，[ do =[' dy dx =xdx047x[-]-[%-]=302O图7-13400C
40 第七章 多元函数积分学 例 9 计算 2 d , D xy 其中 D 是由直线 y =1, x = 2及 y = x所围成的闭区域. 解 如图 7-13， D x y y x x = ( , ) |1 ,1 2 所以， 2 d D xy 4 2 1 d 3 3 x x x = − 图 7-13 2､X型区域上的二重积分 2 y x O 1 y=x ▲▲▲ 把区域写成 X 型表达式,则有 2 2 1 1 d d x xy y x = 3 2 1 1 d 3 x y x x = 2 5 2 1 15 6 x x = − 47 . 30 =