000）(01-1 A-5E=0-33~000 03-3000 知x可任意取值，x2=x,故对应于特征值入=入=5的全部特征向量 k 为 (k,k不全为零) k) 例4设入是方阵A的特征值，证明22是A的特征值。 解由于1是A的特征值，于是存在非零列向量文，使得 A纸= 故 Ax=A(Ax)=A(Ax)=A(Ax)=2x 这说明入2是A的特征值。 不难证明：若1是A的特征值，则入是的特征值：p(2)是p(4) 的特征值。其中 p(2)=a,+a,入+.+anm入m，p(4A)=a,E+aA+.+anA 定理2设，乙2，.，入n是方阵A的m个特征值，而P,P2,P.依次 是与之对应的特征向量。若，各不相等，则p,PP.线性无关。 证明设存在一组数x,2,.,x’使得 x1P+x3P2+.+xPn=0 上式两端左乘A,得 A(XD+x++x)=0 即 xp1+x2p2+.+xmpm=0 于是有 xB+22P+.+=0 依此类推，有 x1h+x3乃P3++xPm=0 p+p2++pa=0 将这m个等式合写成矩阵形式，得到 51-11
5-1-11 0 0 0 5 0 3 3 0 3 3 A E − = − − 0 1 1 ~ 0 0 0 0 0 0 − 知 1 x 可任意取值， 2 3 x x = ，故对应于特征值 2 3 = = 5 的全部特征向量 为 1 2 2 ~ k k k （ 1 2 k k, 不全为零） 例 4 设 是方阵 A 的特征值，证明 2 是 2 A 的特征值。 解 由于 是 A 的特征值，于是存在非零列向量 x ，使得 Ax x = 故 2 2 A x A Ax A x Ax x = = = = ( ) ( ) ( ) 这说明 2 是 2 A 的特征值。 不难证明：若 是 A 的特征值，则 k 是 k A 的特征值； ( ) 是 ( ) A 的特征值。其中 0 1 ( ) m m = + + + a a a ， 0 1 ( ) m A a E a A a A = + + + m 定理 2 设 1 2 , , , m 是方阵 A 的 m 个特征值，而 p p pm , , , 1 2 依次 是与之对应的特征向量。若 m , , , 1 2 各不相等，则 p p pm , , , 1 2 线性无关。 证明 设存在一组数 m x , x , , x 1 2 ，使得 x1 p1 + x2 p2 ++ xm pm = 0 上式两端左乘 A ，得 A(x1 p1 + x2 p2 ++ xm pm ) = 0 即 x1Ap1 + x2Ap2 ++ xm Apm = 0 于是有 x11 p1 + x22 p2 ++ xm m pm = 0 依此类推，有 0 2 2 2 1 2 2 2 x11 p + x p ++ xmm pm = . 0 1 2 1 1 2 2 1 1 1 + + + = − − − m m m m m m x p x p x p 将这 m 个等式合写成矩阵形式，得到
「1名.- 1名. =00.0 1. 上式等号左端第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式的转置行列式， 当入，各不相等时，该行列式不等于零，从而该矩阵可逆。于是有 .xP]-b0.0 即xP,=0（j=12.,m),又由于p,≠0，故x,=0（j=1,2,m). 所以向量组A,P,P.线性无关。 §3相似矩阵 定义7设A、B都是n阶方阵，若存在可逆矩阵P,使得 PAP=B 则称B是A的相似矩阵，或者说矩阵A与B相似。对A进行运算P'AP 称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。 定理3若n阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A 与B的特征值也相同。 证明由于A与B相似，即存在可逆矩阵P,使得PAP=B,故 IB-EI=IP-AP-P(E)PI=IP(A-2E)PI =P4-EIPI=1A-EI 推论若n阶方阵A与对角阵 Λ= 相似，则，2，即是A的n个特征值。 证明由于，元，入即是A的n个特征值，于是由定理3可知， 不，2，入，也就是A的n个特征值。 「1-2-41 「5 创1设方库4与’ 相似，求x,y -4-21 -4 5-1-12
5-1-12 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 = − − − m m m m m m pm x p x p x 上式等号左端第二个矩阵的行列式为 Vandermonde 行列式的转置行列式， 当 i 各不相等时，该行列式不等于零，从而该矩阵可逆。于是有 0 0 0 x1 p1 x2 p2 xm pm = 即 x j p j = 0 （ j =1,2, ,m ）. 又由于 p j 0 ，故 x j = 0 （ j =1,2, ,m ）. 所以向量组 p p pm , , , 1 2 线性无关。 §3 相似矩阵 定义 7 设 A 、 B 都是 n 阶方阵，若存在可逆矩阵 P ，使得 P AP= B −1 则称 B 是 A 的相似矩阵，或者说矩阵 A 与 B 相似。对 A 进行运算 P AP −1 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵。 定理 3 若 n 阶方阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同。 证明 由于 A 与 B 相似，即存在可逆矩阵 P ，使得 P AP= B −1 ，故 | | | ( ) | 1 1 B E P AP P E P − − − = − | ( ) | 1 = P A− E P − | | | | | | 1 = P A− E P − = | A− E | 推论 若 n 阶方阵 A 与对角阵 = n 2 1 相似，则 n , , , 1 2 即是 A 的 n 个特征值。 证明 由于 n , , , 1 2 即是 的 n 个特征值，于是由定理 3 可知， n , , , 1 2 也就是 A 的 n 个特征值。 例 1 设方阵 − − − − − − = 4 2 1 2 2 1 2 4 A x 与 − = 4 5 y 相似，求 x ， y