定义4如果n阶方阵A满足 AA=E(即A=) 则称A为正交矩阵。 上式用A的列向量表示，有 a AA= (a,a2,.,an) a aaaa,.dan aa aa . aldald . 得到A「A=E成立的充分必要条件是 ara,=8,= 1,i=j 0,i≠j (j=1,2.,n) 由此可见，友阵A为正交矩阵的充琴条件是：A的列向熏是两两交 的单位向竟。 由正交矩阵的定义可知，AA=E等价于AA”=E,因此上述结论 对A的行向量仍然成立。 例4验证矩阵 1 2 0 0 0 0 P= 万 -3 是正交矩阵。 51-6
5-1-6 定义 4 如果 n 阶方阵 A 满足 T A A E = （即 1 T A A − = ） 则称 A 为正交矩阵。 上式用 A 的列向量表示，有 1 2 1 2 ( , , , ) T T T n T n a a A A a a a a = 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 T T T n T T T n T T T n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 1 1 1 = 得到 T A A E = 成立的充分必要条件是 1 , 0 , T i j ij i j a a i j = = = （ i, j =1,2, ,n ） 由此可见，方阵 A 为正交矩阵的充要条件是：A 的列向量是两两正交 的单位向量。 由正交矩阵的定义可知， T A A E = 等价于 T AA E = ，因此上述结论 对 A 的行向量仍然成立。 例 4 验证矩阵 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 P = − − − − 是正交矩阵
解容易验证，P的每一个列向量都是单位向量，且两两正交，所以 P是正交矩阵。 定义5若P为正交矩阵，则线性变换)=P?称为正交变换。 设=P为正交变换，则 川川=立=√pP=√x=川 按川x川表示向量的长度，相当于线段的长度。川川=‖下川说明经过正 交变换，线段的长度保持不变，这是正交变换的优良特性。 我们还可以证明正交矩阵具有以下性质： ①正交矩阵是满秩方阵。 ②正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。 ③两个同阶正交矩阵之积仍是正交矩阵 例5设A、B是同阶正交矩阵，且|A川+|B1=0,证明 14+BI=0 证明由己知可得 A(A+B)BT=(E+AB)BT=BT+A=(A+B) 上式两端取行列式，得 IAI川A+BBI=|(A+B)I 由于|B=-|A,于是上式又化为 (-|A-1)川A+B1=0 又由于-|A2-1≠0，于是得到1A+B|=0 §2方阵的特征值与特征向量 工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一 个方阵的特征值与特征向量。数学中诸如方阵的对角化及求解微分方程组 等问题，也都要用到特征值的理论。 定义6设A是n阶方阵，若存在数入和非零列向量元，使得 Ax=九x 1) 则称数入为方阵A的特延值，而称非零列向量示为方阵A的对应于特征值 入的特惩向熏。 (1)式也可写成 (A-E)x=0 (2) 这是含有n个方程n个未知数的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要 条件是系数行列式 5-1-7
5-1-7 解 容易验证， P 的每一个列向量都是单位向量，且两两正交，所以 P 是正交矩阵。 定义 5 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y Px = 称为正交变换。 设 y Px = 为正交变换，则 || || || || T T T T y y y x P Px x x x = = = = 按 || || x 表示向量的长度，相当于线段的长度。 || || || || y x = 说明经过正 交变换，线段的长度保持不变，这是正交变换的优良特性。 我们还可以证明正交矩阵具有以下性质： ① 正交矩阵是满秩方阵。 ② 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。 ③ 两个同阶正交矩阵之积仍是正交矩阵。 例 5 设 A 、 B 是同阶正交矩阵，且 | | | | 0 A B + = ，证明 | | 0 A B+ = 证明 由已知可得 ( ) ( ) ( ) T T T T T T T A A B B E A B B B A A B + = + = + = + 上式两端取行列式，得 | | | | | | | ( ) | T T T A A B B A B + = + 由于 | | | | B A =− ，于是上式又化为 2 ( | | 1) | | 0 − − + = A A B 又由于 2 − − | | 1 0 A ，于是得到 | | 0 A B+ = . §2 方阵的特征值与特征向量 工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一 个方阵的特征值与特征向量。数学中诸如方阵的对角化及求解微分方程组 等问题，也都要用到特征值的理论。 定义 6 设 A 是 n 阶方阵，若存在数 和非零列向量 x ，使得 Ax x = （1） 则称数 为方阵 A 的特征值，而称非零列向量 x 为方阵 A 的对应于特征值 的特征向量。 （1）式也可写成 ( ) 0 A E x − = （2） 这是含有 n 个方程 n 个未知数的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要 条件是系数行列式
IA-1E|=0 (3) a1-1a2 ain aa2-1. =0 . . dnl an2 . am-元 显然，(3)是关于入的一个一元n次方程，称为方阵A的特惩方程。多项 式f()=|A-1E引是元的n次多项式，称为方阵A的特多项惑。而特 征方程的根就是方阵A的特征值，方程组(2)的非零解向量x就是方阵A 的对应于特征值入的特征向量 易知特征方程为 f()=|A-E =(-l)”"+(-l)-(a,+a2+.+am)2-+.+|A|=0 令入=0，就得到特征多项式的常数项为A, 设阶方阵A的特征值为，乙2，.，入n(重根按重数计算)，由多项式 的根与系数的关系，不难证明 ①++.+元n=41+a2+.+anm ②1入2.入n=|A 设入=入，为方阵A的一个特征值，于是由方程 (A-E)元=0 可求得非零解元=户，则刀就是方阵A的对应于特征值入，的特征向量。（若 2为实数，则户可取实向量：若入为复数，则卫为复向量。) 3-1 例1求方阵4一气一3的特征值与特征向量。 解由于A的特征多项式为 3-1 14-E1=-13-2刘 =(3-)2-1=8-61+2=(2-1)(4-) 于是A的特征值为：入=2，乙=4. ①当2=2时，对应的特征向量应满足(A-2E)x=0,而 (1-11-1 4-2E=1)00) 51-8
5-1-8 | | 0 A E − = （3） 即 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a a a a − − = − 显然，（3）是关于 的一个一元 n 次方程，称为方阵 A 的特征方程。多项 式 f A E ( ) | | = − 是 的 n 次多项式，称为方阵 A 的特征多项式。而特 征方程的根就是方阵 A 的特征值，方程组（2）的非零解向量 x 就是方阵 A 的对应于特征值 的特征向量。 易知特征方程为 f A E ( ) | | = − 1 1 11 22 ( 1) ( 1) ( ) | | 0 n n n n nn a a a A − − = − + − + + + + + = 令 = 0 ，就得到特征多项式的常数项为 | | A . 设 n 阶方阵 A 的特征值为 1 2 , , , n （重根按重数计算），由多项式 的根与系数的关系，不难证明 ① 1 2 11 22 n nn + + + = + + + a a a ② 1 2 | | n = A 设 = i 为方阵 A 的一个特征值，于是由方程 ( ) 0 A E x − = i 可求得非零解 i x p = ，则 i p 就是方阵 A 的对应于特征值 i 的特征向量。（若 i 为实数，则 i p 可取实向量；若 i 为复数，则 i p 为复向量。） 例 1 求方阵 3 1 1 3 A − = − 的特征值与特征向量。 解 由于 A 的特征多项式为 3 1 | | 1 3 A E − − − = − − 2 2 = − − = − + (3 ) 1 8 6 = − − (2 )(4 ) 于是 A 的特征值为： 1 = 2 ， 2 = 4 . ① 当 1 = 2 时，对应的特征向量应满足 ( 2 ) 0 A E x − = ，而 1 1 2 1 1 A E − − = − 1 1 ~ 0 0 −
于是有=为，故对应的特征向量可取为 1) P.=1 ②当入2=4时， 4-日-0 于是有x=一x2,故对应的特征向量可取为 a-9 显然，若卫是方阵A的对应于特征值入，的特征向量，则k户，(k≠0) 也是对应于入的特征向量。 -110 例2求方阵A= -430的特征值和特征向量。 102 解 由于A的特征多项式为 -1-21 01 |A-E1|=-43-元0 102- =(2-1)[(-1-)(3-)+4]=(2-2)1-2)2 于是A的特征值为：2=2，入2=入=1. ①当入=2时，解方程组(A-2E):=0,由 (-310)(100 A-2E=-410~010 100000 得方程组的一个基础解系为 0 A=0 故对应于特征值入=2的全部特征向量为kP,(k≠0)· 5-1-9
5-1-9 于是有 1 2 x x = ，故对应的特征向量可取为 1 1 1 p = ② 当 2 = 4 时， 1 1 4 1 1 A E − − − = − − 1 1 ~ 0 0 于是有 1 2 x x = − ，故对应的特征向量可取为 2 1 1 p − = 显然，若 i p 是方阵 A 的对应于特征值 i 的特征向量，则 i kp （ k 0 ） 也是对应于 i 的特征向量。 例 2 求方阵 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A − = − 的特征值和特征向量。 解 由于 A 的特征多项式为 1 1 0 | | 4 3 0 1 0 2 A E − − − = − − − = − − − − + (2 )[( 1 )(3 ) 4] 2 = − − (2 )(1 ) 于是 A 的特征值为： 1 = 2 ， 2 3 = =1. ① 当 1 = 2 时，解方程组 ( 2 ) 0 A E x − = ，由 3 1 0 2 4 1 0 1 0 0 A E − − = − 1 0 0 ~ 0 1 0 000 得方程组的一个基础解系为 1 0 0 1 p = 故对应于特征值 1 = 2 的全部特征向量为 1 kp （ k 0 ）
②当入2=入3=1时，解方程组(A-E)元=0，由 -2101101 A-E=-420~012 101 000 得方程组的一个基础解系为 -1 =-2 1 故对应于特征值入2=入，=1的全部特征向量为k户2(k≠0). (500 例3求方阵A=023的特征值和特征向量。 032 解由于A的特征多项式为 15-0 0 A-E= 02-13 =(5-)[(2-)2-9列] 032-1 =-(2+10(-5)2 于是A的特征值为：=-1，乃2=3=5. ①当入=-1时，解方程组(A+E)示=0，由 (600100 A+E=033~011 033(000 得方程组的一个基础解系为 (0Y 1 -1 故对应于特征值入=-1的全部特征向量为k币，(k≠0) ②当入2=3=5时，解方程组(A-5E)x=0,由 5-1-10
5-1-10 ② 当 2 3 = =1 时，解方程组 ( ) 0 A E x − = ，由 2 1 0 4 2 0 1 0 1 A E − − = − ～ 1 0 1 ~ 0 1 2 0 0 0 得方程组的一个基础解系为 2 1 2 1 p − = − 故对应于特征值 2 3 = =1 的全部特征向量为 2 kp （ k 0 ）. 例 3 求方阵 5 0 0 023 032 A = 的特征值和特征向量。 解 由于 A 的特征多项式为 5 0 0 | | 0 2 3 0 3 2 A E − − = − − 2 = − − − (5 )[(2 ) 9] 2 = − + − ( 1)( 5) 于是 A 的特征值为： 1 =−1， 2 3 = = 5 . ① 当 1 =−1 时，解方程组 ( ) 0 A E x + = ，由 600 0 3 3 0 3 3 A E + = 1 0 0 ~ 0 1 1 000 得方程组的一个基础解系为 1 0 1 1 p = − 故对应于特征值 1 =−1 的全部特征向量为 1 kp （ k 0 ）. ② 当 2 3 = = 5 时，解方程组 ( 5 ) 0 A E x − = ，由