§3相似矩阵
§3 相似矩阵
定义：设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P满足 P-AP=B 则称B为矩阵A的相似矩阵， 对A进行运算P-AP称为对A进行相似变换. 称可逆矩阵P为把A变成B的相似变换矩阵. 定理：若阶矩阵A和B相似，则A和B的特征多项式相同， 从而A和B的特征值也相同. 证明：根据题意，存在可逆矩阵P,使得P-AP=B· 于是 |B-2E=
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P −1AP = B ， 则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵A 和 B 相似． 对 A 进行运算 P −1AP 称为对 A 进行相似变换． 称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵． 定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同． 证明：根据题意，存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ． 于是 | B −lE | = | P −1AP − P −1 (lE) P | = | P −1 (A−lE ) P | = | P −1 | |A−lE | |P | = |A−lE | ．
定理：设n阶矩阵A= ,则1,2，九n就 2 是A的n个特征值. 证明： 22 故21,22，2n就是A的n个特征值
定理：设 n 阶矩阵 L = ，则l1 , l2 , ., l n 就 是 L 的 n 个特征值． 证明： 故 l1 , l2 , ., l n 就是 L 的 n 个特征值． 1 2 1 2 ( )( ) ( ) n n E l l l l l l l l l l l l l L − − − = = − − − − 1 2 n l l l
可逆矩阵P,满足P-1AP=A（对角阵) AP=PA Ap:=九P(i=1,2,n) P.123定理4： 推论：如果A有n个 n阶矩阵A和对角阵相似 不同的特征值，则A 当且仅当 和对角阵相似. A有n个线性无关的特征向量 其中 A(p1,P2,.,Pn)=(p1,P2,Pn)
可逆矩阵 P ，满足 P −1AP = L （对角阵） AP = PL Api = li pi (i = 1, 2, ., n) 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n A p p p p p p l l l = 其中 P.123定理4： n 阶矩阵 A 和对角阵相似 当且仅当 A 有 n 个线性无关的特征向量 推论：如果 A 有 n 个 不同的特征值，则 A 和对角阵相似．
定理：设九1,2，几m是方阵A的特征值，P1,P2,pm依 次是与之对应的特征向量，如果21,22，2m各不相同，则 P1,P2,Pm线性无关.（P.120定理2) 定理：阶矩阵A和对角阵相似（即A能对角化）的充分 必要条件是A有n个线性无关的特征向量.（P.123定理4) 推论：如果A有个不同的特征值，则A和对角阵相似. 说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化.（P.118例6)
定理：设 l1 , l2 , ., l m 是方阵 A 的特征值， p1 , p2 , ., pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1 , l2 , ., l m 各不相同，则 p1 , p2 , ., pm 线性无关．（P.120定理2） 定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量．（P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似． 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．（P.118例6）