§5二次型及其标准形
§5 二次型及其标准形
、二次型的背景 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方 程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代 控制理论等诸多领域都有很重要的应用。在解析几何中，我们曾 经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，当坐 标原点与中心重合时，有心二次曲线的一般方程为： ax2 +2bxy+cy2 f 为研究这个二次曲线的几何性质，可用适当的坐标旋转变换×： x=x'cos0-y'sin y=x'sin0+y'cos0 把方程化为标准形：x2+ny2=1 X
二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方 程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代 控制理论等诸多领域都有很重要的应用。在解析几何中,我们曾 经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,当坐 标原点与中心重合时，有心二次曲线的一般方程为： 2 2 ax bxy cy f + + = 2 为研究这个二次曲线的几何性质，可用适当的坐标旋转变换： = + = − sin cos cos sin y x y x x y 把方程化为标准形： 2 2 mx ny + =1 Y X Y＇ p o y x` y` x x
上式的左端是一个二次齐次多项式，从代数学的观点看， 化标准形的过程实质是通过变量的线性变换化简一个二次齐 次多项式使其只含平方项。 这样一个问题，不但在几何学上常遇到，而且在其它领域 也常出现，比如物理（动能与势能）、微分几何（曲面的法 曲率)、经济学（效用函数）和统计学（置信椭圆）等。通 过研究二次型，我们很容易掌握这些实际问题的数学背景。 为了讨论问题的方便，这里只考虑二次齐次多项式
上式的左端是一个二次齐次多项式，从代数学的观点看， 化标准形的过程实质是通过变量的线性变换化简一个二次齐 次多项式使其只含平方项。 这样一个问题，不但在几何学上常遇到，而且在其它领域 也常出现，比如物理（动能与势能）、微分几何（曲面的法 曲率）、经济学（效用函数）和统计学（置信椭圆）等。通 过研究二次型，我们很容易掌握这些实际问题的数学背景。 为了讨论问题的方便，这里只考虑二次齐次多项式
定义1含有n个变量x1,x2,xn的二次齐次函数 f(,x2,.x)=4X+2a2XX3+.+2 4XXn +a2++24n3xn ++amx号 称为二次型.为方便起见，二次型简记为f。 当a是复数时，称为复二次型； 当a是实数时，称为实二次型
2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 22 2 2 2 2 ( , , ) 2 2 2 n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x = + + + + + + + + 称为二次型.为方便起见，二次型简记为f。 定 义1 含 有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次函数 当a 是复数时, f称为 ; ij 复二次型 当a 是实数时, f称为 . ij 实二次型
定义2.如果二次型中只含有平方项，即 f()=kx+kx 称为二次型的标准形（或法式)。 若标准形中k,k2,.kn只能取1、-1或0，则 f=x+x号++x2-x2-x号 称其为二次型的规范形
定义2. 如果二次型中只含有平方项,即 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x k x k x k x = + + + 称为二次型的标准形（或法式）。 若标准形中 只能取1、-1或0，则 称其为二次型的规范形。 1 2 , , n k k k 2 2 2 2 2 1 2 1 p p r f x x x x x = + + + − − − +