《线性代数》课程教学资源（教案讲义）第二章 矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算 教学目的通过本章的讲授，使学生知道矩阵的概念，理解矩阵与线性变换得关 系，掌握可逆矩阵的定义及性质；熟练掌握矩阵的运算以及逆矩阵的 求法，掌握分块矩阵的概念以及分块矩阵的运算 教学重点：矩阵的运算，逆矩阵的定义、性质以及求法 教学难点：逆矩阵的性质以及求法 教学内容： §1矩阵的概念 一、线性变换与矩阵 线性方程组 ax+a53+.+awx=6 aa++a=b 的解取决于系数a,和系数b,将系数按照原来的位置可以排成数表 这种数表就叫做矩阵。 定义1由mxn个数a,(i=L2,m:j=12,n)排成m行n列的数表 主对角线 主对角线 (2) 称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵。这m×n个数称为矩阵A的元素，a,表示矩阵A的第i 行第列元素。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩 阵除特别说明外，都是指实矩阵。(2)式也可荷记为 A=(a)或A=(a,)或A 二、几种特殊的矩阵 (1)当 n时，A称为n阶方阵 (2)只有一行的矩阵 A=a,a.an] 称为行矩阵：只有一列的矩阵

第二章 矩阵及其运算 教学目的 通过本章的讲授，使学生知道矩阵的概念，理解矩阵与线性变换得关 系，掌握可逆矩阵的定义及性质；熟练掌握矩阵的运算以及逆矩阵的 求法，掌握分块矩阵的概念以及分块矩阵的运算 教学重点：矩阵的运算，逆矩阵的定义、性质以及求法 教学难点：逆矩阵的性质以及求法 教学内容： §1 矩阵的概念 一、线性变换与矩阵 线性方程组 的解取决于系数 aij 和系数 i b ,将系数按照原来的位置可以排成数表， 这种数表就叫做矩阵。 定义 1 由 m n 个数 aij （ i = 1,2,  ,m ； j =1,2,  ,n ）排成 m 行 n 列的数表             = m m mn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 （2） 称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵。这 m n 个数称为矩阵 A 的元素， aij 表示矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩 阵除特别说明外，都是指实矩阵。（2）式也可简记为 A = aij mn ( ) 或 ( ) A = aij 或 Amn 二、几种特殊的矩阵 （1）当 m = n 时， A 称为 n 阶方阵。 （2）只有一行的矩阵   A = a1 a2  an 称为行矩阵；只有一列的矩阵 主对角线 主对角线        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1

6. 称为列矩阵。 (3)当两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。 (4)若A=(a,)与B=(他，)是同型矩阵，且它们的对应元素都相等，即 ay=by (1=1,2,.,m:i=12.n） 则称矩阵A与B相等，记作A=E 《6)元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作0，注意不同型的零矩阵是不同的。 (6)上三角矩阵：当1>j时，a,=0 4= 0an.a 00.a (7)对角矩阵：主对角线以外的元素都是零。 「0.01 A= 0.0 . 00.元n 见徐 A=diag() (8)单位矩阵：主对角线上的元素都是1的数量矩阵。 10 .01 01.0 00.1 n个变量，x2,x与m个变量，2y之间的关系式 y=a11+a2x2+.+anxn 2=a21+ax3+.+a2nx yn=am+a22+.+amX (1)

            = mb b b B  2 1 称为列矩阵。 （3）当两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。 （4）若 ( ) A = aij 与 ( ) B = bij 是同型矩阵，且它们的对应元素都相等，即 aij = bij （ i = 1,2,  ,m ； j =1,2,  ,n ） 则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B. （5）元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O . 注意不同型的零矩阵是不同的。 （6）上三角矩阵：当 i  j 时， aij = 0 .             = mn n n a a a a a a A        0 0 0 22 2 11 12 1 （7）对角矩阵：主对角线以外的元素都是零。             = n A           0 0 0 0 0 0 2 1 记作 ( , , ) A = diag 1 2 n （8）单位矩阵：主对角线上的元素都是 1 的数量矩阵。             = 0 0 1 0 1 0 1 0 0        En n 个变量 n x , x , , x 1 2  与 m 个变量 n y , y , , y 1 2  之间的关系式        = + + + = + + + = + + + m m m mn n n n n n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x     1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 （1）

表示一个从变量x,x2,xn到片，2，y,的线性变换。给定了线性变换(1)， 它的系数所构成的矩阵（叫做系数矩阵）也就确定了。反之，如果给出一个矩阵作为某 个线性变换的系数矩阵，则该线性变换也就确定了。在这个意义上，线性变换与矩阵之 间存在着一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换。 例1线性变换 ly.=x 叫做恒等变换。它所对应的矩阵是n阶单位矩阵 10.01 E,= 01.0 00.1J E=(⑥，) 例2线性变换 八= 少=西 y.=Ax 所对应的m阶方阵是n阶对角阵。 [20.01 0 0 A= 名. 0

表示一个从变量 n x , x , , x 1 2  到 n y , y , , y 1 2  的线性变换。给定了线性变换（1）， 它的系数所构成的矩阵（叫做系数矩阵）也就确定了。反之，如果给出一个矩阵作为某 个线性变换的系数矩阵，则该线性变换也就确定了。在这个意义上，线性变换与矩阵之 间存在着一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换。 例 1 线性变换 叫做恒等变换。它所对应的矩阵是 n 阶单位矩阵 即 ( ) E =  ij 例 2 线性变换        = = = n n n y x y x y x     2 2 2 1 1 1 所对应的 n 阶方阵是 n 阶对角阵。             = n A           0 0 0 0 0 0 2 1             = 0 0 1 0 1 0 1 0 0        En        = = = n n y x y x y x  2 2 1 1

第二节矩阵的运算 一、矩阵的加法 定义2设A=(a,)和B=(亿，)都是mxn矩阵，称mxn矩阵 a1+,a2+h2.am+hn】 au+baz+62.an+b。 anu+bnla2+b2.an+bn 为矩阵A与B的和，记为A+B, 矩阵A与B的差规定为A+(-B),记为A-B, 矩阵加法满足下列运算律（设A、B、C是同型矩阵）： (1)A+B=B+A: (2)(A+B)+C=A+(B+C). 二、数与矩阵相乘 定义3设入是数，A=(a,)是m×n矩阵，称矩阵 a1a.an a1 .ian iala2.a 为数与矩阵A的乘积，简称数乘，记为元A或A. 数与矩阵乘积满足下列运算律（设A、B是m×n矩阵，元、4是数）： (1)(24)A-A(4A): (2)(+)A=元A+HA: (3)(A+B)=元A+元B. 矩阵的加减法和数乘称为矩阵的线性运算 三、矩阵与矩阵相乘（矩阵乘法） 设有两个线性变换

第二节 矩阵的运算 一、矩阵的加法 定义 2 设 ( ) ij A = a 和 ( ) ij B = b 都是 m n 矩阵，称 m n 矩阵 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b   + + +   + + +       + + +   为矩阵 A 与 B 的和，记为 A B+ ． 矩阵 A 与 B 的差规定为 A B + −( )，记为 A B− ． 矩阵加法满足下列运算律（设 A 、 B 、C 是同型矩阵）： （1） A B B A + = + ； （2） ( ) ( ) A B C A B C + + = + + ． 二、数与矩阵相乘 定义 3 设  是数， ( ) ij A = a 是 m n 矩阵，称矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a                      为数  与矩阵 A 的乘积，简称数乘，记为 A 或 A ． 数与矩阵乘积满足下列运算律（设 A 、 B 是 m n 矩阵，  、  是数）： （1） ( ) ( )    A A = ； （2） ( )     + = + A A A ； （3）    ( ) A B A B + = + ． 矩阵的加减法和数乘称为矩阵的线性运算． 三、矩阵与矩阵相乘（矩阵乘法） 设有两个线性变换

x=b+b2l (I) 2=b4+bh2 x=b4+b22 变量x,x2,到变量片，乃2的线性变换为 (Ⅱ) y=a+a22+a3 Jy2=a21+a22X2+a423X3 那么，变量4，山到变量乃，乃的线性变换应为 (m) 「月=a(64+b2)+a2(b4+b2)+a(b+b2) y2=az(+b2)+az(+b)+az(b+b) 乃=(a14+a,b,+a4i)片+(ab2+abn+abz, y=(a b+ab+ab+(a b+ab,+abM A=ai4&aa） (b b2 B=b b2, bst bs2 aabu+axba+abs axbz+axba+ab 矩阵C是由矩阵A与B按照某种运算得到的，这就是我们下面要给出的矩阵的乘法， 定义4设A=(a,)是一个m×s矩阵，B=(b,)是一个5×n矩阵，则规定矩阵A与B 的乘积是一个m×n矩阵C=(c,),其中 6=a6,+a6,++ay=2abyi=l,2mj=l2.,川. 并把此乘积记为 C=AB. 两个矩阵相乘要求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数.乘积矩阵的行数为左边矩阵的 行数，乘积矩阵的列数为右边矩阵的列数。乘积矩阵的，)元为左边矩阵的第1行元素与 右边矩阵的第j列元素对应相乘再相加

（Ⅰ） 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 3 31 1 32 2 x b t b t x b t b t x b t b t  = +   = +   = + ， 变量 1 2 3 x x x , , 到变量 1 2 y y, 的线性变换为 （Ⅱ） 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 y a x a x a x y a x a x a x  = + +   = + + ， 那么，变量 1 2 t t, 到变量 1 2 y y, 的线性变换应为 （Ⅲ） 1 11 11 1 12 2 12 21 1 22 2 13 31 1 32 2 2 21 11 1 12 2 22 21 1 22 2 23 31 1 32 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y a b t b t a b t b t a b t b t y a b t b t a b t b t a b t b t  = + + + + +   = + + + + + ， 即 1 11 11 12 21 13 31 1 11 12 12 22 13 32 2 2 21 11 22 21 23 31 1 21 12 22 22 23 32 2 ( ) ( ) ( ) ( ) y a b a b a b t a b a b a b t y a b a b a b t a b a b a b t  = + + + + +   = + + + + + ， 令 11 12 13 21 22 23 a a a a a a   =     A ， 11 12 21 22 31 32 b b b b b b     =       B ， 11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32 21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b   + + + + =     + + + + C ， 矩阵 C 是由矩阵 A 与 B 按照某种运算得到的，这就是我们下面要给出的矩阵的乘法． 定义 4 设 ( ) ij A = a 是一个 m s  矩阵 ， ( ) ij B = b 是一个 s n 矩阵，则规定矩阵 A 与 B 的乘积是一个 m n 矩阵 ( ) ij C = c ，其中 1 1 2 2 1 ( 1,2, , ; 1,2, , ) s i j i j i j i s s j i k k j k c a b a b a b a b i m j n = = + + + = = =  ， 并把此乘积记为 C AB = ． 两个矩阵相乘要求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数．乘积矩阵的行数为左边矩阵的 行数，乘积矩阵的列数为右边矩阵的列数．乘积矩阵的 ( , ) i j 元为左边矩阵的第 i 行元素与 右边矩阵的第 j 列元素对应相乘再相加．