第二章矩阵及其运算疑难解答 1,矩阵运算系统与我们熟悉的实数运算系统的本质区别是什么？ 答：两者的本质区别在于 (1)实数运算系统是一个乘法可交换的系统，而矩阵运算系统则是一个乘法不满足 税多4-6.2-心-0m-( 00 (2)矩阵中存在化零因子，即存在A≠O,B≠O而AB=O。在实数运算系统中不 存在化零因子，若有ab=0,a,b∈R,则a,b中至少有一个数是0。 (3)实数运算系统中存在乘法消去律，即ar=ay,且a≠0，则必有x=y,而在 矩阵运算中，若矩阵A,B,C满足AB=AC,A≠O,却不能推出B=C 2。矩阵与行列式有什么区别和联系？ 答：矩阵是一个数表，而行列式是一个数。另一方面，矩阵与它的行列式又紧密相关。行列 式是方阵所确定的一个数，所以行列式可以看作是方阵的函数：同时行列式又是方阵特性的 重要标志，如根据行列式是否为0，把方阵分为奇异与非奇异两类，这样的分具有基本而深 刻的意义。 3.A的伴随矩阵A广有些什么重要性质？ 答：可以从两方面考察A的重要性质 (1)A的伴随矩阵厂继承了A的许多性质，即若A具有某种性质P,则A广也具有性质P 这些性质包括矩阵的对称性、可逆性、正定性、正交性等重要性质。进一步，如果A是可 逆矩阵，那么包括入对称性、可逆性、正定性、正交性等矩阵的重要性质，A与A同时具 有或同时不具有。 (2)对于矩阵A,kA,k∈R与A的乘法满足交换律，AkA)=(kA)A=k|A川E。 (3)A有如下性质 ①(A)T=(A), (4'HAr, (当A可逆时，A也可逆，且()=(A)'。 4.矩阵按行分块和按列分块有什么作用？ 答：在线性代数许多问题的讨论中都要用到矩阵按行或按列分块。设m×矩阵A按列分块 为A=(a,4,.a,那么在运算中，它可视为一个行向量，它的l,)元是A的第j列响 量，jl,2.n这时矩阵就等同于它的列向量组。同样，按行分块矩阵可视为一个列向量， 矩阵等同于它的行向量组。由此理解矩阵与向量组的关系，这是对矩阵概念的深化，也是后 继内容中利用矩阵来讨论向量组的基础
第二章 矩阵及其运算疑难解答 1. 矩阵运算系统与我们熟悉的实数运算系统的本质区别是什么？ 答：两者的本质区别在于 （1） 实数运算系统是一个乘法可交换的系统，而矩阵运算系统则是一个乘法不满足 交换律的系统，如 − = = = − = 1 1 1 -1 ,则AB O,而BA 1 0 1 0 , 0 0 1 1 A B 。 （2） 矩阵中存在化零因子，即存在 A O,B O 而 AB = O 。在实数运算系统中不 存在化零因子，若有 ab = 0,a,b R ，则 a,b 中至少有一个数是 0。 （3） 实数运算系统中存在乘法消去律，即 ax = ay, 且 a 0 ，则必有 x = y ，而在 矩阵运算中，若矩阵 A, B,C 满足 AB = AC, A O ，却不能推出 B = C. 2. 矩阵与行列式有什么区别和联系？ 答：矩阵是一个数表，而行列式是一个数。另一方面，矩阵与它的行列式又紧密相关。行列 式是方阵所确定的一个数，所以行列式可以看作是方阵的函数；同时行列式又是方阵特性的 重要标志，如根据行列式是否为 0，把方阵分为奇异与非奇异两类，这样的分具有基本而深 刻的意义。 3. A 的伴随矩阵 * A 有些什么重要性质？ 答：可以从两方面考察 * A 的重要性质 （1） A 的伴随矩阵 * A 继承了 A 的许多性质，即若 A 具有某种性质 P ，则 * A 也具有性质 P 。 这些性质包括矩阵的对称性、可逆性、正定性、正交性等重要性质。进一步，如果 A 是可 逆矩阵，那么包括入对称性、可逆性、正定性、正交性等矩阵的重要性质， A 与 * A 同时具 有或同时不具有。 （2）对于矩阵 A ， kA ,k R * 与 A 的乘法满足交换律， A(kA ) (kA )A k | A| E * * = = 。 （3） * A 有如下性质 (i) * T T * (A ) = (A ) ， (ii) * 1 | | | | − = n A A ， (iii)当 A 可逆时， * A 也可逆，且 * 1 1 * ( ) ( ) − − A = A 。 4.矩阵按行分块和按列分块有什么作用？ 答：在线性代数许多问题的讨论中都要用到矩阵按行或按列分块。设 mn 矩阵 A 按列分块 为 ( , , ) A = a1 a2 an ，那么在运算中，它可视为一个行向量，它的 (1, j) 元是 A 的第 j 列向 量，j=1,2,.n.这时矩阵就等同于它的列向量组。同样，按行分块矩阵可视为一个列向量， 矩阵等同于它的行向量组。由此理解矩阵与向量组的关系，这是对矩阵概念的深化，也是后 继内容中利用矩阵来讨论向量组的基础
5.矩阵多项式有什么意义？ 答：(1)设有x的m次多项式p(x)=amxm+.+ax+a,当用n阶方阵A代替x时， 就成为矩阵多项式p(x)=amAm+.+a,A+aE,该多项是满足 (i)p(A)也是n阶方阵： (i)设p(A)和W(A)为矩阵A的两个多项式，那么尽管矩阵乘法不满足交换律，但p(A) 和W(A)总是可交换的，即p()y(A)=W(A)p(A)，从而熟知的普通多项式的乘法规则 和因式分解规则，对于矩阵多项式也成立。 (2)就像实数多项式是最重要、最基本的函数那样，矩阵多项式也是线性代数的重要而基 本的内容
5.矩阵多项式有什么意义？ 答：（1）设有 x 的 m 次多项式 1 0 (x) a x a x a m = m ++ + ，当用 n 阶方阵 A 代替 x 时， 就成为矩阵多项式 x a A a A a E m m 1 0 ( ) = ++ + ，该多项是满足 （i） (A) 也是 n 阶方阵； （ii）设 (A) 和 (A) 为矩阵 A 的两个多项式，那么尽管矩阵乘法不满足交换律，但 (A) 和 (A) 总是可交换的，即 (A) (A) = (A) (A) ，从而熟知的普通多项式的乘法规则 和因式分解规则，对于矩阵多项式也成立。 （2）就像实数多项式是最重要、最基本的函数那样，矩阵多项式也是线性代数的重要而基 本的内容