《线性代数》课程教学资源（疑难解答）第五章 相似矩阵及二次型

线代第五章试题解容 第五章疑难问题 1.相似矩阵有相同的特征值和特征向量。 非例如 1 2 P= 则P1= (55 (55 于是，A~B,不难算得他们的特征值都为1和6，但是， 1 (2 A的特征向量为X, X2= B的特征向基为5-Θ点-) 2.相似矩阵有相同的特征值，反之亦然。 非正命题正确，逆命题不正确。 A~B,存在满秩矩阵P使得B=P一AP,则 E-B=E-P-AP=P-(E-A)P=AE-A, A与B有相同的特征多项式，固有相同的特征值。 反之不然。例如， 5=-0与4-（有湘同的龄征雀，但是伦不湘似。 3.正交矩阵的特征值为正数。 4.若A与B合同，则A与B相似 丰州如4心)心)有可建库c=6到生得， 第1页共2页

线代第五章试题解答 第 1 页 共 2 页 第五章疑难问题 1.相似矩阵有相同的特征值和特征向量。 非 例如             − =             − =         = − 5 1 5 2 5 2 5 1 , 5 1 5 2 5 2 5 1 2 2 5 2 1 A ， P 则P ，         = = − 0 6 1 0 1 B P AP . 于是，A~B,不难算得他们的特征值都为 1 和 6，但是， A 的特征向量为             =             − = 5 1 5 2 5 2 5 1 X1 ， X2 ， B 的特征向量为         =         = 1 0 0 1  1 ，  2 . 2. 相似矩阵有相同的特征值，反之亦然。 非 正命题正确，逆命题不正确。 A B P B P AP 1 ~ , −  存在满秩矩阵 使得 = ，则 E − B = E − P AP = P E − A P = E − A − −   ( )  1 1 ， A 与 B 有相同的特征多项式，固有相同的特征值。 反之不然。例如，         =         = 2 1 1 0 0 1 1 0 E 与 A 有相同的特征值 1，但是他们不相似。 3.正交矩阵的特征值为正数。 非 例如         − = 0 1 1 0 A ，显然为正交矩阵。但是它的特征值 1 = 1，2 = −1. 4.若 A 与 B 合同，则 A 与 B 相似。 非 例如 有可逆阵   使 得       =         =         = 0 2 1 0 . 0 4 1 0 , 0 1 1 0 A B C ，         =                        =  = 0 4 1 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 2 1 0 B C AC

线代第五章试题解答 即A与B合同，但是A不相似于B。 5.A与B相似，且均为对称矩阵，则A与B合同 是因为A与B相似，所以他们的特征值相等。存在正交矩阵T,了，使得 TAT= 3 =TBT,故 B=(GT)A(TT)=GTA(TT=(TT:A(TT) 所以，A与B合同。 第2页共2页

线代第五章试题解答 第 2 页 共 2 页 即 A 与 B 合同，但是 A 不相似于 B。 5. A 与 B 相似，且均为对称矩阵，则 A 与 B 合同。 是 因为 A 与 B 相似 ，所以他们的特征值相等。存在正交矩阵 T1 , T2，使得 2 1 2 2 1 1 1 T1 AT T BT n − − =               =     , 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 B = T2T1 A T T = T T A T T = T T A T T − − 。 所以，A 与 B 合同