第五章相似矩阵与二次型 §1预备知识：向量的内积 定义1设有n维向量 x = ， )= (x 今 [元，]=xy+x++xny 则称[民，门为向量天与的内积 内积是向量的一种运算，当x与都是列向量时，可用矩阵记号表示 []=习 内积具有下列性质（其中x,少，三都是n维向量，入为实数）： ①[元，]=[灭，x] ②[元，]=元，] ③[+，]=[不，]+[戊] 在解析几何中，我们曾引进向量的数量积 x cos6 且在直角坐标系中，有 {6,3,x}{y,2,}=x++x3 n维向量的内积是数量积的一种推广。但n维向量没有3维向量那样直观 的长度和夹角的概念。因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广。并 且反过来， 利用内积来定义n维向量的长度和夹角： 定义2令 ‖川=玉，灯=√x+++x 则称‖天川为n维向量元的长度（或范数）。 向量的范数具有下列性质： ①非负性：当示≠0时，川x>0:当天=0时，川x川=0 ②齐次性：川标=2川川 ③三角不等式：川x+川≤川x川+川川 当川x川=1时，称下为单位向悬。 向量的内积满足 [元，]≤[元，][立] 5-1-1
5-1-1 第五章 相似矩阵与二次型 §1 预备知识：向量的内积 定义 1 设有 n 维向量 1 2 n x x x x = ， 1 2 n y y y y = 令 1 1 2 2 [ , ] n n x y x y x y x y = + + + 则称 [ , ] x y 为向量 x 与 y 的内积. 内积是向量的一种运算，当 x 与 y 都是列向量时，可用矩阵记号表示 为 [ , ] T x y x y = 内积具有下列性质（其中 x y z , , 都是 n 维向量， 为实数）： ① [ , ] [ , ] x y y x = ② [ , ] [ , ] x y x y = ③ [ , ] [ , ] [ , ] x y z x z y z + = + 在解析几何中，我们曾引进向量的数量积 x y x y = | | | | cos 且在直角坐标系中，有 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 { , , } { , , } x x x y y y x y x y x y = + + n 维向量的内积是数量积的一种推广。但 n 维向量没有 3 维向量那样直观 的长度和夹角的概念。因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广。并 且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长度和夹角： 定义 2 令 2 2 2 1 2 || || [ , ] n x x x x x x = = + + + 则称 || || x 为 n 维向量 x 的长度（或范数）。 向量的范数具有下列性质： ① 非负性：当 x 0 时， || || 0 x ；当 x = 0 时， || || 0 x = ② 齐次性： || || | | || || x x = ③ 三角不等式： || || || || || || x y x y + + 当 || || 1 x = 时，称 x 为单位向量。 向量的内积满足 2 [ , ] [ , ] [ , ] x y x x y y
上式称为Scar不等式。由此可得 [元，] x (‖x‖‖川≠0) 于是有下面的定义： 当川≠0时，称 [x,y] @arccosy 为n维向量元与少的夹角。 当[x,门]=0时，称向量元与交。显然，当天=0时，向量示与任 何向量都正交。 下面讨论正交向量组的性质。所谓正交向囊组，是指一组两两正交的 非零向量。 定理1若n维向量元，元2，.，立，是一组两两正交的非零向量，则向 量组元，a2,.,应，线性无关。 证明设存在一组数人，人2，·，k,使得 kG+kG2+.ka=0 用左乘上式两端，由于瓦，元2，.，反，两两正交，于是有 k立=0 由于元≠0，故云=‖≠0，从而有k=0·同理可证， 人3=.=k,=0.所以向量组么，瓦2，.，G,线性无关。 我们常采用正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基 例如，n个两两正交的n维向量，可构成向量空间R”的一个正交基。 例1已知3维向量空间R中的两个向量 1 a=1 ā=-2 1 正交，试求一个非零向量a,使4，a两两正交。 解记 4-)-010 (1-2 所求向量ā，应满足齐次线性方程组A优=0，即 5l-2
5-1-2 上式称为 Schwarz 不等式。由此可得 [ , ] 1 || || || || x y x y （ || || || || 0 x y ） 于是有下面的定义： 当 || || || || 0 x y 时，称 [ , ] arccos || || || || x y x y = 为 n 维向量 x 与 y 的夹角。 当 [ , ] 0 x y = 时，称向量 x 与 y 正交。显然，当 x = 0 时，向量 x 与任 何向量都正交。 下面讨论正交向量组的性质。所谓正交向量组，是指一组两两正交的 非零向量。 定理 1 若 n 维向量 1 2 , , , r 是一组两两正交的非零向量，则向 量组 1 2 , , , r 线性无关。 证明 设存在一组数 1 2 , , , r k k k ，使得 1 1 2 2 0 r r k k k + + = 用 1 T 左乘上式两端，由于 1 2 , , , r 两两正交，于是有 1 1 1 0 T k = 由 于 1 0 ， 故 2 1 1 || || 0 T = ，从而有 1 k = 0 . 同理可证， 2 0 r k k = = = . 所以向量组 1 2 , , , r 线性无关。 我们常采用正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基。 例如， n 个两两正交的 n 维向量，可构成向量空间 n R 的一个正交基。 例 1 已知 3 维向量空间 3 R 中的两个向量 1 1 1 1 a = ， 2 1 2 1 a = − 正交，试求一个非零向量 3 a ，使 1 2 3 a a a , , 两两正交。 解 记 1 2 111 1 2 1 T T a A a = = − 所求向量 3 a 应满足齐次线性方程组 Ax = 0 ，即
解这个方程组，对系数矩阵A施行初等行变换 111101 4-0-30Γ01 于是得同解方程组 x=-为 x3=0 -1 -1 它的一个基础解系为号=0，取ā，==0，即为所求。 1 1 定义3设n维向量，已，是向量空间V(VcR")的一个基， 若，已，.，两两正交，且都是单位向量，则称，已2，.，e,是向量空 间V的一个规范正交基： 例如， 1 0 0 √迈 0 0 e,= = 0 0 0 0 就是R的一个规范正交基。 若，已，.，e,是向量空间V的一个规范正交基，则V中任一向量a 都可由氏，.，C,线性表示，设表示式为 a=+3已2+.+，e 为了求出其中的系数无(i=1,2,.,r),用e左乘上式，得到 ā== 1,=a=[a,] 设，.，是向量空间V的一个基，要求V的一个规范正交基 5-1-3
5-1-3 1 2 3 1 1 1 0 1 2 1 0 x x x = − 解这个方程组，对系数矩阵 A 施行初等行变换 1 1 1 1 0 1 ~ ~ 0 3 0 0 1 0 A − 于是得同解方程组 1 3 2 0 x x x = − = 它的一个基础解系为 1 0 1 − = ，取 3 1 0 1 a − = = ，即为所求。 定义 3 设 n 维向量 1 2 , , , r e e e 是向量空间 V （ n V R ）的一个基， 若 1 2 , , , r e e e 两两正交，且都是单位向量，则称 1 2 , , , r e e e 是向量空 间 V 的一个规范正交基。 例如， 1 1 2 1 2 0 0 e = ， 2 1 2 1 2 0 0 e − = ， 3 0 0 1 2 1 2 e = ， 4 0 0 1 2 1 2 e = − 就是 4 R 的一个规范正交基。 若 1 2 , , , r e e e 是向量空间 V 的一个规范正交基，则 V 中任一向量 都可由 1 2 , , , r e e e 线性表示，设表示式为 1 1 2 2 r r = + + + e e e 为了求出其中的系数 i （ i r =1, 2 , , ），用 T i e 左乘上式，得到 T T i i i i i e e e = = 即 [ , ] T i i i = = e e 设 1 2 , , , r 是向量空间 V 的一个基，要求 V 的一个规范正交基
也就是要找一组两两正交的单位向量毛，已2，.，使，已2，.，E,与 元，.，正，等价。这样一个问题，称为把元，忘，.，正，这个基规蔻正 交化 我们可以用下面的办法把应，应2，.，立规范正交化： 取 月=a A=a,-厅 [B,]1 瓦=a-AA-a@A-a1A [B,]片[，] [B,p-] 容易验证，B,B2,.,B两两正交，且与元，应，.，d,等价。 然后，只要把月，瓦，.，耳单位化，即取 B B 8房“ 即得向量空间V的一个规范正交基。 注意向量组的规范正交化的顺序是：先正交后规范。 上述从线性无关向量组，2，.，立，导出正交向量组 B,B,.,B,的过程，称为Sh此正交化过程。它不仅满足 月，月2，.，B与元，元2，.，元，等价，还满足：对任意k(1≤k≤r), 向量组月，月2，.，B与0，瓜2，.，正等价。 例2设有向量组 -10 3.a -1 试用Schimidt正交化过程将其规范正交化。 解取 月=a 5-14
5-1-4 也就是要找一组两两正交的单位向量 1 2 , , , r e e e ，使 1 2 , , , r e e e 与 1 2 , , , r 等价。这样一个问题，称为把 1 2 , , , r 这个基规范正 交化。 我们可以用下面的办法把 1 2 , , , r 规范正交化： 取 1 1 = 1 2 2 2 1 1 1 [ , ] [ , ] = − . 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] r r r r r r r r r − − − − = − − − − 容易验证， 1 2 , , , r 两两正交，且与 1 2 , , , r 等价。 然后，只要把 1 2 , , , r 单位化，即取 1 1 1 || || e = ， 2 2 2 || || e = ，.， || || r r r e = 即得向量空间 V 的一个规范正交基。 注意 向量组的规范正交化的顺序是：先正交，后规范。 上 述 从 线 性 无 关 向 量 组 1 2 , , , r 导 出 正 交 向 量 组 1 2 , , , r 的过程 ，称 为 Schimidt 正 交 化过 程 。它不仅满足 1 2 , , , r 与 1 2 , , , r 等价，还满足：对任意 k （ 1 k r ）， 向量组 1 2 , , , k 与 1 2 , , , k 等价。 例 2 设有向量组 1 1 2 1 = − ， 2 1 3 1 − = ， 3 4 1 0 = − 试用 Schimidt 正交化过程将其规范正交化。 解 取 1 1 =
3 [B,B] A=a-因别A-区别A [BR]1 [B2,B2] 4 1Y -1 0 = 1-2 (o6 1 3 1 再把它们单位化，得到 1 [11 2 1 已3= 3= 0 1 则，弓，即为所求。 例3已知=1 求一组非零向量元，元，使得G,元2，元两两 正交。 解乙，正应满足方程组 x 元=(111)x2=0 x X1=-x2-x3 它的一个基础解系为 1 1 易=0 o 1 将基础解系正交化，即为所求，即取 -1 0 [5,5 5-l-5
5-1-5 1 2 2 2 1 1 1 [ , ] [ , ] = − 1 1 4 3 2 6 1 1 − = − − 1 5 1 3 1 − = 1 3 2 3 3 3 1 2 1 1 2 2 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] = − − 4 1 1 2 5 1 2 1 6 3 0 1 1 − = − − + − 1 2 0 1 = 再把它们单位化，得到 1 1 1 1 1 2 || || 6 1 e = = − ， 2 2 2 1 1 1 || || 3 1 e − = = ， 3 3 3 1 1 0 || || 2 1 e = = 则 1 2 3 e e e , , 即为所求。 例 3 已知 1 1 1 1 = ，求一组非零向量 2 3 , ，使得 1 2 3 , , 两两 正交。 解 2 3 , 应满足方程组 ( ) 1 1 2 3 1 1 1 0 T x x x x = = 即 1 2 3 x x x = − − 它的一个基础解系为 1 1 1 0 − = ， 2 1 0 1 − = 将基础解系正交化，即为所求，即取 2 1 1 1 0 − = = ， 1 2 3 2 1 1 1 [ , ] [ , ] = − 1 1 1 0 1 2 1 0 − − = − 1 1 1 2 0 − = −